Chapitre 4Polynôme du second degré

Nous avons les équivalences suivantes : $$\begin{align*}\begin{cases}x-y=1 \\x^3-y^3=k\end{cases} &\iff \begin{cases}x-y=1 \\(x-y)(x^2+xy+y^2)=k\end{cases} &&\iff \begin{cases}x-y=1 \\x^2+xy+y^2=k\end{cases} \\&\iff \begin{cases}x-y=1 \\{(x-y)}^2+3xy=k\end{cases} &&\iff \begin{cases}x-y=1 \\3xy=k-1\end{cases} \\&\iff \begin{cases}x=1+y \\3(1+y)y=k-1\end{cases} &&\iff \begin{cases}x=1+y \\3y^2+3y+1-k=0.\end{cases}\end{align*}$$ Le système a donc des solutions si et seulement si l’équation $3y^2+3y+1-k=0$ a des solutions, donc si et seulement si le discriminant $9-4\times 3\times (1-k)$ est positif (ou nul).

Nous en concluons que le système a des solutions si et seulement si $k\ge \dfrac{1}{4}$.La plus petite valeur de $k$ telle que le système admette une solution au moins est $\dfrac{1}{4}$.

Nous obtenons alors le système : $$\begin{cases}x-y=1 \\x^3-y^3=\frac{1}{4}.\end{cases}$$ Résolvons ce système (en nous basant sur les calculs déjà effectués). $$\begin{align*}\begin{cases}x-y=1 \\x^3-y^3=\frac{1}{4}\end{cases}&\iff \begin{cases}x=1+y \\3y^2+3y+1-\frac{1}{4}=0\end{cases} \\&\iff \begin{cases}x=1+y \\3y^2+3y+\frac{3}{4}=0\end{cases} \\&\iff \begin{cases}x=1+y \\4y^2+4y+1=0\end{cases}\end{align*}$$ L’équation $4y^2+4y+1=0$ a pour discriminant $\Delta=0$ et donc, nous obtenons $y=-\dfrac{1}{2}$.

Conclusion : Le système$\displaystyle \begin{cases} x-y=1 \\ x^3-y^3=\frac{1}{4}\end{cases}$admet pour unique solution $x=\dfrac{1}{2}$ et $y=-\dfrac{1}{2}$.

1. Les conditions imposées sur $C_f$ sont équivalentes à$\begin{cases}f(0)&=&-4 \\f(4)&=&0 \\f(-4)&=&0.\end{cases}$
   Résolvons ce système. Pour cela, écrivons $f$ sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$.
   Nous avons alors : $$\begin{cases}f(0)=-4 \\f(4)=0 \\f(-4)=0 \\\end{cases}\iff \begin{cases}c &=&-4 \\16a+4b+c &=& 0 \\16a-4b+c &=& 0\end{cases}\iff \begin{cases}a=\frac{1}{4} \\b=0 \\c=-4.\end{cases}$$ Ainsi, nous en déduisons que $f(x)=\dfrac{1}{4}x^2-4$.
2. Les conditions imposées sur $C_g$ sont équivalentes à$\begin{cases}g(0)=0 \\g(4)=0 \\g'(0)=4.\end{cases}$
   Résolvons ce système. Pour cela, écrivons $g$ sous la forme : $g(x)=ax2+bx+c$.
   Nous avons alors : $$\begin{cases}g(0)&=&0 \\g(4)&=&0 \\g'(0)&=&4\end{cases}\iff \begin{cases}c&=&0 \\16a+4b+c&=&0 \\b&=&4\end{cases}\iff \begin{cases}a=-1 \\b=4 \\c=0.\end{cases}$$ Ainsi, nous en déduisons que $g(x)=-x^2+4x$.
3. La condition « le point $M$ de coordonnées $(x,y)$ est un point d’intersection de $C_f$ et $C_g$ » est équivalente à$\begin{cases}y=f(x) \\y=g(x).\end{cases}$Résolvons ce système. $$\begin{align*}\begin{cases}y=f(x) \\y=g(x) \\\end{cases}&\iff \begin{cases}y &=& \frac{1}{4}x^2-4 \\y &=&-x^2+4x\end{cases} \\&\iff \begin{cases}-x^2+4x &=& \frac{1}{4}x^2-4 \\y &=&-x^2+4x\end{cases} \\&\iff \begin{cases}5x^2-16x-16 &=& 0 \\y &=&-x^2+4x\end{cases}\end{align*}$$ Nous devons donc résoudre l’équation $5x^2-16x-16=0$.
   Son discriminant est $\Delta=576=24^2$ et l’ensemble des solutions de cette équation est donc $\left\{\dfrac{16+24}{10},\dfrac{16-24}{10}\right\}$, c’est-à-dire $\left\{4,-\dfrac{4}{5}\right\}$.
   Nous en déduisons que les points d’intersections de $C_f$ et $C_g$ sont les points de coordonnées $(4,0)$ et $\left(-\dfrac{4}{5},-\dfrac{96}{25}\right)$.
4. Les graphes $C_f$ et $C_g$ sont sur la figure suivante : bientôt disponible.

1. On vérifie que $P(-1)=0$.
   Ensuite, nous pouvons soit raisonner par division de $P(x)$ par $(x+1)$ soit identifier les coefficients en développant $(x+1)(ax^2+bx+c)$.
   Nous obtenons $P(x)=(x+1)(2x^2-5x+2)$.
   Le discriminant du polynôme « $2x^2-5x+2$ » est $\Delta=9$ et ses racines sont donc $2$ et $\dfrac{1}{2}$.
   D’où : $$2x^2-5x+2=2\left(x-2\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right).$$ Nous en déduisons que $P(x)=2\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$.
2. Effectuons le changement d’inconnue : $\sin x=t$.
   Nous avons alors : $$\eqref{eq:ex3-1}\iff P(t)=0\iff t\in \left\{-1,2,\dfrac{1}{2}\right\}\iff \sin x\in \left\{-1,2,\dfrac{1}{2}\right\}.$$
   • $\sin x=-1$ a pour ensemble de solutions $\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}$.
   • $\sin x=2$ n’a pas de solution.
   • $\sin x=\dfrac{1}{2}$ a pour ensemble de solutions $\left\{\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}\bigcup \left\{\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}$.
   Nous en déduisons que l’ensemble des solutions de l’équation $\eqref{eq:ex3-1}$ est $$\left\{\frac{\pi}{6}+2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}\bigcup \left\{\frac{5\pi}{6}+2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}\bigcup \left\{-\frac{\pi}{2}+2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}.$$

1. On vérifie que $P(-1)=0$.
   Ensuite, nous pouvons soit raisonner par division de $P(x)$ par $(x+1)$ soit identifier les coefficients en développant $(x+1)(ax^2+bx+c)$.
   Nous obtenons : $$P(x)=(x-3)(2x^2+5x-3).$$
2. L’équation « $P(x)=0$ » est équivalente à $(x-3)(2x^2+5x-3)=0$.
   Le discriminant du polynôme « $2x^2+5x-3$ » est $\Delta=49$ et ses racines sont donc $3$ et $-\dfrac{1}{2}$.
   D’où : $$2x^2+5x-3=2(x-3)\left(x+\frac{1}{2}\right).$$ Donc « $P(x)=0$ » est équivalent à $2(x+1)(x-3)\left(x+\frac{1}{2}\right)=0$.
   Nous en déduisons que l’ensemble des solutions de l’équation « $P(x)=0$ » est $\left\{-1,-\dfrac{1}{2},3\right\}$.
3. Effectuons le changement d’inconnue : $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=t$.
   Nous avons alors : $$\eqref{eq:ex4-1}\iff P(t)=0\iff t\in \left\{-1,-\frac{1}{2},3\right\}\iff \sin x\in \left\{-1,-\frac{1}{2},3\right\}.$$
   • $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=-1$ a pour ensemble de solutions $\left\{-\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}$.
   • $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ a pour ensemble de solutions $\{2k\pi\vert k\in\mathbb{Z}\}\bigcup \left\{\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}$.
   • $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=3$ n’a pas de solution.
   Nous en déduisons que l’ensemble des solutions de l’équation $\eqref{eq:ex4-1}$ est : $$\left\{-\frac{2\pi}{3}+2k\pi \middle\vert k\in\mathbb{Z}\right\}\bigcup \left\{2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}\bigcup \left\{\frac{2\pi}{3}+2k\pi\,\middle\vert\,k\in\mathbb{Z}\right\}.$$