Quelques exemples de factorisation
Soit $P_1$ le polynôme défini par : $P_1(x)=x^2-3x+2$.
On remarque que $P_1(1)=0$ ; factorisons alors le polynôme $P_1$ par $(x-1)$.
Nous obtenons : $P_1(x)=(x-1)(x-2)$.
Pour factoriser un polynôme, nous avons deux méthodes :
- Identification des coefficients
On cherche $a$ et $b$ tels que $P_1(x)=(x-1)(ax+b)$.
En développant $(x-1)(ax+b)=ax^2+(b-a)x-b$ puis en identifiant les coefficients, nous obtenons le système :\begin{cases}a&=&1 \\b-a&=&-3 \\-b&=&2.\end{cases}Ce système a pour solution $a=1$ et $b=-2$. - Division euclidienne de polynôme\begin{array}{rrrrr|rrr}x^2 & – & 3x & + & 2 & x & – & 1 \\\hline\x^2 & – & x & & & x & – & 2 \\ & – & 2x & + & 2 \\ & – & 2x & + & 2 \\ & & & & 0 \\\end{array}
Dans les deux cas, nous obtenons bien : $P_1(x)=(x-1)(x-2)$.
Soit $P_2$ le polynôme défini par : $P_2(x)=x^2-x-6$.
On remarque que $P_2(3)=0$ ; factorisons alors le polynôme $P_2$ par $(x-3)$.
Nous obtenons : $P_2(x)=(x-3)(x+2)$.
Pour factoriser un polynôme, vous avez deux méthodes :
- Identification des coefficients
On cherche $a$ et $b$ tels que $P_2(x)=(x-3)(ax+b)$.
En développant $(x-3)(ax+b)=ax^2+(b-3a)x-3b$ puis en identifiant les coefficients, nous obtenons le système :\begin{cases}a&=&1 \\b-3a&=&-1 \\-3b&=&-6.\end{cases}Ce système a pour solution $a=1$ et $b=2$. - Division euclidienne de polynôme\begin{array}{rrrrr|rrr}x^2 & – & x & – & 6 & x & – & 3 \\\hline\x^2 & – & 3x & & & x & + & 2 \\& & 2x & – & 6 \\& & 2x & – & 6 \\& & & & 0 \\\end{array}
Dans les deux cas, nous obtenons bien : $P_2(x)=(x-3)(x+2)$.
Soit $P_3$ le polynôme défini par : $P_3(x)=2x^2+2x-4$.
Factorisons $P_3$ en en produit de facteur du premier degré. Pour cela, nous allons écrire la forme canonique de ce polynôme.
Dans un premier temps, nous mettons le coefficient de $x^2$ en facteur : $P_3(x)=2(x^2+x-2)$.
Ensuite, nous considérons le terme $x^2+x$ comme le début du développement du carré ${\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}^2$${\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}^2=x^2+x+\frac{1}{4}$..
D’où $x^2+x={\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}^2-\dfrac{1}{4}$.
Nous avons alors : $P_3(x)=2\left({\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}^2-\dfrac{1}{4}-2\right)=2\left({\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}^2-\dfrac{9}{4}\right)$.
Nous pouvons alors factoriser cette dernière expression grâce à la formule : $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
Nous obtenons ainsi :\begin{align*}P_3(x)&=2\left({\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{9}{4}\right) \\&=2\left({\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2\right) \\&=2\left(x+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right) \\&=2\left(x-1\right)\left(x+2\right).\end{align*}
C’est cette démarche que nous allons généraliser pour obtenir la méthode de recherche des racines d’un polynôme du second degré.
Un exemple de détermination de polynôme
Déterminons un polynôme du second degré admettant comme racines $5$ et $6$.
Il suffit de choisir : $P(x)=(x-5)(x-6)$, c’est-à-dire $P(x)=x^2-11x+30$.
Cette solution n’est pas unique. Tout multiple (non nul) de ce polynôme est solution et on peut démontrer que toutes les solutions sont de la forme $k(x^2-11x+30)$ où $k$ est un réel non nul.