Nous allons ici procéder à l’étude du signe d’un polynôme du second degré $P$ à coefficient réels, $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a$ réel non nul).
Méthode
Grâce au point précédent qui traite de la factorisation d’un tel polynôme, cela ne pose pas de problème.
Trois cas se présentent :
- $\Delta\gt0$.
L’équation « $P(x)=0$ » admet deux racines :\[x_1=\frac{-2+\sqrt\Delta}{2a}\text{ et }x_2=\frac{-2-\sqrt\Delta}{2a}.\]Nous obtenons ainsi la forme factorisée : $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
Faisons un tableau de signe.\begin{array}{|c|ccccccc||}\hlinex &-\infty & & x_2 & & x_1 & & +\infty \\\hlinex-x_1 & & – & & – & 0 & + & \\\hlinex-x_2 & & – & 0 & + & & + & \\\hline(x-x_1)(x-x_2) & & + & 0 & – & 0 & + & \\\hline\end{array}Nous en déduisons que $P(x)$ est du signe de $a$ sur $\left]-\infty;x_2\right[\bigcup \left]x_1;+\infty\right[$ et du signe de ($-a$) sur $\left]x_2;x_1\right[$ (et s’annule en $x_1$ et $x_2$). En pratique, nous retiendrons que $P(x)$ est du signe de $a$ à l’extérieur de ses racines et de ($-a$) à l’intérieur de ses racines.\begin{array}{|c|ccccccc||}\hlinex &-\infty & & x_2 & & x_1 & & +\infty \\\hlineP(x) & & \text{signe de $a$} & 0 & \text{signe de $(-a)$} & 0 & \text{signe de $a$} & \\\hline\end{array} - $\Delta=0$.
L’équation « $P(x)=0$ » admet une unique racine :\[x_0=-\frac{b}{2a}.\]Nous obtenons ainsi la forme factorisée $P(x)=a{(x-x_0)}^2$ et nous en déduisons que $P(x)$ est du signe de $a$ (sauf en $x_0$ où $P$ s’annule). - $\Delta\lt0$.
L’équation « $P(x)=0$ » n’a pas de racine.
Nous en déduisons que $P$ garde un signe constant (et ne s’annule pas) : le signe en question est le signe de $c$ (il suffit de calculer $P(0)=c$).