Niveau 1
Exercice
Soit $P$ le polynôme tel que $P(x)=x^3-3x^2-4x+12$.
- Montrer que $3$ est une racine de $P$.
- Déterminer $a$, $b$, $c$ tels que pour tout réel $x$, on ait $P(x)=(x-3)(ax^2+bx+c)$.
- Résoudre l’équation « $P(x)=0$ ».
(Sujet d’après baccalauréat)
Voir la solution
- On vérifie que $P(3)=0$.
- Nous pouvons soit raisonner par division de $P(x)$ par $(x-3)$ ou identifier les coefficients en développant $(x-3)(ax^2+bx+c)$. Nous obtenons :\[P(x)=(x-3)(x^2-4).\]
- L’équation « $P(x)=0$ » a pour ensemble de solution $\{3,-2,2\}$.
Exercice
On considère le polynôme défini sur $\mathbb{R}$ par $P(x)=x^3-6x^2-x+30$.
- Calculer $P(3)$.
- Montrer que l’on peut factoriser $P(x)$ et écrire alors $P(x)$ sous la forme d’un produit de trois facteurs.
- Résoudre l’équation $P(x)=0$ dans $\mathbb{R}$.
(Sujet d’après baccalauréat)
Voir la solution
- On vérifie que $P(3)=0$.
- Nous pouvons soit raisonner par division de $P(x)$ par $(x-3)$ ou identifier les coefficients en développant $(x-3)(ax^2+bx+c)$. Nous obtenons :\[P(x)=(x-3)(x^2-3x-10).\]Le discriminant du polynôme « $x^2-3x-10$ » est $\Delta=49$ et ses racines sont donc $-2$ et $5$.
D’où :\[x^2-3x-10=(x+2)(x-5).\]Nous en déduisons que $P(x)=(x-3)(x+2)(x-5)$.- L’équation « $P(x)=0$ » a pour ensemble de solution $\{3,-2, 5\}$.
Exercice
Soit le polynôme $P(x)=2x^3-3x^2+5$.
- Calculer $P(-1)$, en déduire une factorisation de $P(x)$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation : $P(x)=0$.
(Sujet d’après baccalauréat)
Voir la solution
- On vérifie que $P(-1)=0$. Nous pouvons soit raisonner par division de $P(x)$ par $(x+1)$ ou identifier les coefficients en développant $(x+1)(ax^2+bx+c)$.
Nous obtenons : \[P(x)=(x+1)(2x^2-5x+5).\]- Le discriminant du polynôme « $2x^2-5x+5$ » est $\Delta=-15$. Comme le discriminant est strictement négatif, le polynôme « $2x^2-5x+5$ » n’a pas de racines réelles.
Donc, l’équation « $P(x)=0$ » a pour ensemble de solution $\{-1\}$.
Exercice
Déterminer les nombres $a$ et $b$ connaissant leur somme $S=-1$ et leur produit $P=-30$.
Voir la solution
$a$ et $b$ sont solutions de l’équation $x^2-Sx+P=0$, c’est-à-dire $a$ et $b$ sont solution de l’équation $x^2+x-30=0$.
Le discriminant de cette équation est $\Delta=121=11^2$ et donc l’ensemble des solutions de cette équation est $\{-6,5\}$.Ainsi, les nombres $a$ et $b$ recherchés sont $(a=-6\text{ et }b=5)$ ou $(a=5\text{ et }b=-6)$.