L’étude de l’équation du second degré $ax^2+bx+c=0$ semble très ancienne car des solutions apparaissent déjà dans des tablettes babyloniennes (Mésopotamie, vers 1800-1600 av. J.C.) sous forme géométrique, sans la formule générale que nous connaissons $x=(-b\pm \sqrt{b^2-4ac})/(2a)$ quand le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est positif. Pour cela, il fallait d’abord formaliser l’expression : utiliser des lettres pour représenter les coefficients, noter $x$ l’inconnue (appelée autrefois « la chose »), $x^2$ le carré de cette inconnue, introduire le symbole $\sqrt{n}$ pour la racine carrée du nombre $n$ et le symbole de l’égalité. Tout cela s’est lentement élaboré au cours des siècles depuis cette lointaine époque.
Chez les mathématiciens grecs, arabes, hindous et chinois, on trouve naturellement beaucoup de travaux sur ce sujet, basés essentiellement sur des méthodes géométriques. Mais ces travaux évitent le problème du calcul des racines quand le discriminant est négatif.
Les notations algébriques commencent à apparaître chez Gerolamo Cardano (Cardan, 1501-1576) et François Viète (1540-1603).
A partir du 16ème siècle en Italie, se pose la question des racines « imaginaires » quand le discriminant est négatif. Ceci conduit peu à peu à l’introduction des nombres complexes dans la résolution des équations algébriques, puis plus tard en analyse avec Euler, Cauchy et Riemann. Un autre fait important est la découverte, au 17ème siècle, de la représentation de la parabole par la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ (Descartes, et aussi Huygens).
Comme d’habitude en mathématiques, la notion d’équation du second degré s’est généralisée et étendue à des domaines très divers, aussi bien en algèbre qu’en analyse. Donnons brièvement quelques exemples.
Considérons l’expression $E(x)=P(x)e^{2x}+Q(x)e^{x}+R(x)$, où $P,Q,R$ sont des polynômes bien choisis de degrés respectifs $p,q,r$. En résolvant l’équation $E=0$, qui est du second degré par rapport à la variable $X=e^x$, on obtient des approximations non rationnelles de l’exponentielle. Pour obtenir de bonnes approximations, on choisit $P,Q,R$ de manière que le premier terme du développement de Maclaurin de $E(x)$ (ou de son développement limité en $x=0$) soit de degré le plus élevé possible, ici $m=p+q+r+2$. Par exemple, le choix $P(x)=1,Q(x)=x+x^3/6+x^5/120,R(x)=-1$, pour lesquels $(p,q,r)=(0,5,0)$, conduit au développement $E(x)=x^7/2520+O(x^8)$ et fournit l’approximant suivant de l’exponentielle\[\epsilon(x)=Q(x)+\sqrt{Q^2(x)+1}\]Vous pouvez vérifier, en traçant les deux courbes, que $\epsilon(x)$ est un très bon approximant de $e^x$ dans un intervalle assez grand autour de l’origine.
Une autre extension importante concerne les équations matricielles du second degré, qui s’écrivent sous la forme $P(A)=a_0I+a_1A+a_2A^2=0$, où $A$ est une matrice carrée. La résolution d’une telle équation nécessite la définition de la racine carrée d’une matrice. Plus généralement, on étudie encore actuellement la résolution d’équations polynomiales matricielles de degré quelconque, qui se rencontrent dans plusieurs problèmes de l’Automatique ou de la Mécanique Quantique.