Une suite ${(u_n)}_n$ de réels est dite géométrique lorsqu’il existe un réel $q$ ayant la propriété suivante :\[\forall n\in\mathbb{N},\ u_{n+1}=q\times u_n.\]Ce réel $q$ est appelé la raison de la suite.
Dire qu’une suite est géométrique signifie donc que le rapport de deux termes consécutifs quelconques est constant.
Pour prouver qu’une suite est géométrique, on commence par calculer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$, puis on l’étudie pour savoir si il est constant.
Soit ${(u_n)}_n$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0=a$.
Nous avons : $u_1=qa$ ; $u_2=q^2a$ ; $u_3=q^3a$ ; …
Généralisons ce résultat sous la forme suivante :
Soit ${(u_n)}_n$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0=a$.
Alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n=q^na=q^nu_0$.
Raisonnement par récurrence laissé au lecteur (sans difficulté).
Une suite géométrique est donc entièrement déterminée par son premier terme et sa raison.
Comme dans le cas des suites arithmétiques, lors d’application à des problèmes des suites géométriques (voir la section Exercices), nous avons besoin parfois de calculer la somme des premiers termes. Pour cela, nous avons besoin du résultat suivant :
Pour tout réel $q\ne 1$ et pour tout entier naturel n :\[\sum\limits_{k=0}^n{q^k}=1+q+q^2+\dotsc+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\]
Pour effectuer cette preuve, il y a deux méthodes :
- Soit nous effectuons une démonstration par récurrence (laissée au lecteur).
- Soit nous procédons de la manière suivante : l’idée est de calculer $S-qS$ afin « d’éliminer » des termes de la somme.
Posons $S=\sum\limits_{k=0}^{n}{q^k}=1+q+q^2+\dotsb+q^n$.\begin{align*}S&=1+q+q^2+\dotsb+q^n \\ qS&=\hphantom{w+}q+q^2+\dotsb+q^n+q^{n+1} \\ \hlineS-qS&=1-q^{n+1}\end{align*}Nous obtenons ainsi :\[S(1-q)=1-q^n+1.\]
La condition $q\ne 1$ est nécessaire (nous divisons par $(1-q)$).
Mais, pour $q=1$, la somme $\displaystyle S=\sum\limits_{k=0}^n{q^k}=1+q+q^2+\dotsb+q^n$ est égale à $(n+1)$.
Nous en déduisons le théorème suivant :
Soit ${(u_n)}_n$ une suite géométrique de raison $q$ distinct de $1$ et de premier terme $a$.
La somme des $n$ premiers termes de cette suite est : $a\dfrac{1-q^n}{1-q}$.
La somme que nous devons calculer est :\[\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(a{q^k}\right)=a\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k.\]Donc, d’après le lemme précédent, cette somme vaut :\[$\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(a{q^k}\right)=a\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k=a\frac{1-q^n}{1-q}.\]
La condition $q\ne 1$ est nécessaire (nous divisons par $(1-q)$).
Mais, pour $q=1$, la somme $\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(a{q^k}\right)=a\sum\limits_{k=0}^{n-1}q^k$ est égale à $\displaystyle a\sum\limits_{k=0}^{n-1}{1}=na$.