Une suite ${(u_n)}_n$ de réels est dite arithmétique lorsqu’il existe un réel $r$ ayant la propriété suivante :\[\forall n\in\mathbb{N}, \ u_{n+1}=u_n+r\]Ce réel $r$ (indépendant de $n$) est appelé la raison de la suite.
Dire qu’une suite est arithmétique signifie donc que la différence de deux termes consécutifs quelconques est constante.
Pour prouver qu’une suite est arithmétique, nous commençons par calculer la différence $u_{n+1}-u_n$, puis nous l’étudions pour savoir si elle est constante.
Soit ${(u_n)}_n$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.
Nous avons : $u_1=u_0+r$ ; $u_2=u_0+2r$ ; $u_3=u_0+3r$…
Généralisons ce résultat sous la forme suivante :
Soit ${(u_n)}_n$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$.
Alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0+nr$.
Raisonnement par récurrence laissé au lecteur (sans difficulté).
- Une suite arithmétique est donc entièrement déterminée par son premier terme et sa raison.
- Si le premier terme de la suite arithmétique de raison $r$ n’est pas $u_0$ mais $u_1$, nous obtenons alors : pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n=u_1+(n-1)r$.
Soit ${(u_n)}_n$ une suite arithmétique de raison $r$. Nous avons les équivalences suivantes :\begin{align*}\text{${(u_n)}_n$ croissante}\iff& r\ge 0\\\text{${(u_n)}_n$ décroissante}\iff& r\le 0\end{align*}
Evidente.
Le sens de variation d’une suite arithmétique dépend donc uniquement du signe de la raison.
Lors d’application à des problèmes des suites arithmétiques (voir la section Exercices), nous avons besoin parfois de calculer la somme des premiers termes. Pour cela, nous avons besoin du résultat suivant :
Pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{n}{k}=1+2+3+\dotsb+n=\frac{n(n+1)}{2}$.
Voir l'animation
Pour effectuer cette preuve, il y a deux méthodes :
- Soit nous effectuons une démonstration par récurrence (laissée au lecteur).
- Soit nous procédons de la manière suivante : l’idée est d’écrire les termes de la somme une fois dans l’ordre croissant, une fois dans l’ordre décroissant et de faire la somme de ces deux écritures.
Posons $S=\sum\limits_{k=1}^{n}{k}=1+2+3+\dotsb+n$.\[\begin{array}{rc}S&=&1&+&2&+&3&+&\dotsb&+&n \\ S&=&n&+&(n-1)&+&(n-2)&+&\dotsb&+&1 \\ \hline2S&=&(n+1)&+&(n+1)&+&(n+1)&+&\dotsb&+&(n+1)\end{array}\]Nous obtenons ainsi :\[S=\frac{n(n+1)}{2}.\]
Cette méthode (très astucieuse) est due à Gauss.
Nous en déduisons le théorème suivant :
Soit ${(u_n)}_n$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $a$.
La somme des $n$ premiers termes de cette suite est : $na+r\dfrac{n(n-1)}{2}$.
La somme que nous devons calculer est :\begin{align*}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{(a+kr)}&=a+(a+r)+(a+2r)+\dotsb+\bigl(a+(n-1)\bigr)r \\&=na+r\bigl(1+2+\dotsb+(n-1)\bigr) \\&=na+r\sum\limits_{k=1}^{n-1}{k}\end{align*}Donc, d’après le lemme précédent, cette somme vaut : $\displaystyle na+r\frac{n(n-1)}{2}$.
Attention, suivant les cas, si le premier terme $a$ est $u_0$, $u_1$ ou un autre terme, le nième terme est $u_{n-1}$, $u_n$ ou…