On dit que la suite ${(u_n)}_n$ converge s’il existe un réel $\lambda$ tel que les termes de la suite ${(u_n)}_n$ peuvent être rendus arbitrairement proches de $\lambda$ à partir d’un certain rang. Dans ce cas, nous dirons que la suite ${(u_n)}_n$ converge vers $\lambda$ ou que la limite de la suite ${(u_n)}_n$ est $\lambda$ et nous admettrons que cette limite est unique.
Nous pourrons alors noter : $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\lambda$.
De manière implicite, toutes les limites de suites de réels que nous étudierons se feront lorsque la variable $n$ tend vers $+\infty$. Nous noterons alors simplement : $\lim u_n=\lambda $.
Une suite est dite divergente lorsqu’elle n’est pas convergente. Il y a donc deux types de suites divergentes :
- celles qui ont une limite infinie ;
- celles qui n’ont pas de limite.
Soit ${(u_n)}_n$ la suite de terme général $\displaystyle u_n=\frac{2n+1}{n+7}$.
\[\lim u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+7}=\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{2+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{7}{n}}=2.\]Donc, la suite ${(u_n)}_n$ converge donc vers 2.
Soit ${(u_n)}_n$ la suite de terme général $u_n=2^n$.
On peut montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, on a : $2^n\ge n$. On en déduit par comparaison : $\lim u_n=+\infty $.
La suite ${(u_n)}_n$ est donc divergente.
Soit ${(u_n)}_n$ la suite de terme général $u_n={(-1)}^n$.
Tous les termes de rangs pairs sont égaux à $1$ et ceux de rangs impairs sont égaux à $(-1)$.
Il est clair que les termes de cette suite ne peuvent pas être rendus arbitrairement proches de $1$, ou de $(-1)$, à partir d’un certain rang.
Cette suite n’a pas de limite et elle est donc divergente.
Comme une suite est une fonction (de la variable $n$ entier naturel), nous retrouvons les résultats classiques sur les études de limite.
Soient ${(u_n)}_n$ et ${(v_n)}_n$ deux suites convergentes telles que $\lim u_n=\alpha$ et $\lim v_n=\beta$.
Alors :
- la suite $({u_n+v_n)}_n$ converge vers $\alpha+\beta$ ;
- la suite ${(u_n\times v_n)}_n$ converge vers $\alpha\times\beta$ ;
- pour tout réel $k$, la suite ${(k\times u_n)}_n$ converge vers $k\times\alpha$ ;
- si $\beta \ne 0$, alors la suite $\displaystyle {\left(\frac{u_n}{v_n}\right)}_n$ converge vers $\displaystyle \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$.
Les calculs de limites de suites conduisent de temps en temps à des formes indéterminées analogues à celles déjà étudiées sur les fonctions. On adoptera les mêmes techniques pour contourner ces difficultés.