Les suites adjacentes sont souvent utilisées pour avoir des approximations. Nous verrons par exemple comme elles interviennent dans la méthode de dichotomie.
Définition
Deux suites de réels ${(u_n)}_n$ et ${(v_n)}_n$ sont dites adjacentes lorsque :
- ${(u_n)}_n$ est croissante ;
- ${(v_n)}_n$ est décroissante ;
- $\lim (v_n-u_n)=0$
Exemple
Les suites réels ${(u_n)}_n$ et ${(v_n)}_n$ définies par : $u_n=1-\frac{1}{n}$ et $v_n=1+\frac{1}{n}$ sont adjacentes.
ThéorèmeThéorème fondamental
Si deux suites de réels sont adjacentes, alors elles convergent et ont la même limite.
Voir la preuve
Considérons la suite ${(u_n)}_n$ définie par : $w_n=v_n-u_n$.
- Prouvons que la suite ${(w_n)}_n$ est décroissante.
$w_{n+1}-w_n=(v_{n+1}-v_n)+(u_n-u_{n+1}) \le 0$Car : $v_{n+1}-v_n \le 0$ et $u_n-u_{n+1} \le 0$.- D’autre part : $\lim w_n=\lim (v_n-u_n)=0$
Nous en déduisons : $\forall n\in\mathbb{N},\ w_n\ge 0$. Donc, $\forall n\in\mathbb{N},v_n\ge u_n$.Nous avons alors : $\forall n\in\mathbb{N},\ u_0\le u_n\le v_n\le v_0$.La suite ${(u_n)}_n$ est croissante et majorée par $v_0$ : elle converge vers un réel $\lambda$.La suite ${(v_n)}_n$ est décroissante et minorée par $u_0$ : elle converge vers un réel $\mu$.Enfin : $\lim w_n=0 \iff \lim (v_n-u_n)=0 \iff \mu-\lambda=0 \iff \mu=\lambda$.Ce qui achève la démonstration de ce théorème.