Dans le cas général de l’étude de variation d’une suite de réels, des outils comme la dérivation ne sont pas utilisable. En effet, comme une suite a pour argument des entiers, la notion de limite (sauf en $+\infty$, cas qui sera examiné après) n’a pas de sens… Que voudrait signifier la phrase « $n$ tend vers 5 » ?
Elle consiste à étudier le signe de la différence $\left({u_{n+1}}-u_n\right)$. Si cette différence a un signe constant (indépendant de n), alors on en déduit le sens de variation de la suite.
- Si $(u_{n+1}-u_n)\ge 0$, alors la suite ${(u_n)}_n$ est croissante.
- Si $(u_{n+1}-u_n)\gt0$, alors la suite ${(u_n)}_n$ est strictement croissante.
- Si $(u_{n+1}-u_n)\le 0$, alors la suite ${(u_n)}_n$ est décroissante.
- Si $(u_{n+1}-u_n)\lt0$, alors la suite ${(u_n)}_n$ est strictement décroissante
La suite de réels ${(u_n)}_n$ est dite croissante lorsque pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1}\ge u_n$.
La suite de réels ${(u_n)}_n$ est dite décroissante lorsque pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1}\le u_n$.
La suite de réels ${(u_n)}_n$ est dite constante lorsque pour tout entier naturel $n$ $u_{n+1}=u_n$.
Dans ce cas, on peut comparer à $1$ le rapport $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}$.
- Si pour tout entier $n$, $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}\ge 1$, alors la suite est croissante.
- Si pour tout entier $n$, $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}\le 1$, alors la suite est décroissante.
On considère la suite de terme général $\displaystyle u_n=\frac{n^2}{2^n}$. On souhaite étudier son sens de variation. Comme pour tout entier naturel $n$, $u_n>0$, on calcule le rapport $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}$ et on le compare à $1$.
\[\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2}{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^2=\frac{1}{2}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2\]On remarque que pour $n\ge 3$, on a : $\displaystyle{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2\le {\left(\frac{4}{3}\right)}^2$ donc $\displaystyle\frac{u_{n+1}}{u_n}\le \frac{16}{18}$.
Cela signifie que cette suite est décroissante à partir du rang $3$.
Dans ce cas, le sens de variation de la suite est lié au sens de variation de la fonction. On commence donc par étudier le sens de variation de la fonction. $f$ (avec par exemple des outils comme la dérivation).
- Si $f$ est croissante sur $\left[0,+\infty \right[$ alors la suite ${(u_n)}_n$ est croissante.
- Si $f$ est décroissante sur $\left[0,+\infty \right[$ alors la suite ${(u_n)}_n$ est décroissante.
Attention : Il n’y a pas de réciproque !
La suite ${(u_n)}_n$ peut être croissante sans que la fonction $f$ le soit sur $\left[0,+\infty\right[$.