L’idée de départ est d’écrire cette équation sous forme canonique et de procéder par équivalence.\begin{align*}P(x)=0&\iff ax^2+bx+c=0 \\&\iff x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\text{ (en divisant par $a$ qui est non nul).}\end{align*}Pour continuer, nous allons considérer que le terme $\displaystyle \left(x^2+\frac{b}{a}x\right)$ est le début d’un carré.
En effet, nous avons : $\displaystyle \left(x^2+\frac{b}{a}x\right)={\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}$.
Ainsi,\begin{align*}P(x)=0&\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0 \\&\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.\end{align*}
Posons $\Delta=b^2-4ac$.
Nous allons voir que le signe de ce discriminant donne le nombre de solutions de l’équation et lorsque nous avons des solutions, ces dernières s’expriment en fonction du discriminant.
Dans notre dernière équation : $\displaystyle {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$, le membre de gauche est un carré, donc un nombre positif (nous travaillons avec des coefficients et des inconnues réelles).
Donc, trois cas apparaissent suivant que le membre de droite (donc $\Delta$) est strictement positif, nul ou strictement négatif.
- $\Delta\gt0$. Nous obtenons :\begin{align*}P(x)=0&\iff{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=\frac{\Delta}{4a^2} \\&\iff x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ ou }x+\frac{b}{2a}=\frac{-\sqrt{\Delta}}{2a} \\&\iff x=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ ou }x=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\end{align*}L’ensemble des solutions de l’équation $P(x)=0$ est donc $\displaystyle \left\{\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a};\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}$.
- $\Delta=0$. Nous obtenons :\[P(x)=0\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=0\iff x+\frac{b}{2a}=0\iff x=-\frac{b}{2a}\]L’ensemble des solutions de l’équation $P(x)=0$ est donc $\displaystyle \left\{\frac{-b}{2a}\right\}$.
- $\Delta\lt0$. Dans ce cas, l’équation n’a pas de solution car un carré $\displaystyle \left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2\right)$ ne peut être strictement négatif.
Soit $P$ un polynôme du second degré à coefficient réels : $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a$ réel non nul).
On appelle discriminant de $P$ le réel $\Delta=b^2-4ac$.
On distingue 3 cas :
- $\Delta\gt0$. Alors $P$ admet 2 racines distinctes :\[x_1=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\text{ et }x_2=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}.\]
- $\Delta=0$. Alors $P$ admet 1 racine double :\[x_0=\frac{-b}{2a}.\]
- $\Delta\lt0$. Alors $P$ n’admet pas de racine réelle.