Soit $P$ un polynôme du second degré à coefficient réels : $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a$ réel non nul) tel que le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ soit positif ou nul.
Alors, la somme des racines de $P$ est $-\dfrac{b}{a}$ et le produit des racines est $\dfrac{c}{a}$.
Le problème ne se pose pas sur $\mathbb{R}$ lorsque le discriminant $\Delta$ est strictement négatif. En effet, dans ce cas, $P$ n’admet pas de racines réelles. Deux cas seulement se posent alors :
- $\Delta\gt0$. L’équation « $P(x)=0$ » admet deux racines :\[x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ et }x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.\]Calculons la somme de ces deux racines.\[x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-\frac{b}{a}\]Calculons le produit de ces deux racines.\[x_1x_2=\left(\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=\frac{{(-b)}^2-{\left(\sqrt{\Delta}\right)}^2}{4a^2}=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4{a^2}}=\frac{c}{a}\]En résumé,\[x_1+x_2=-\frac{b}{a}\text{ et }x_1x_2=\frac{c}{a}.\]
- $\Delta=0$. L’équation « $P(x)=0$ » admet une unique racine : $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
Nous avons vu que $x_0$ est une racine double, c’est-à-dire que d’un point de vue mathématiques, nous pouvons considérer que lorsque le discriminant $\Delta$ est nul, le polynôme $P$ admet deux racines égales à $x_0$.
Effectuons alors la somme de ces deux racines (égales) :\[ x_0+x_0=\frac{-b}{2a}+\frac{-b}{2a}=-\frac{b}{a},\]Effectuons leur produit :\[x_0x_0=\left(\frac{-b}{2a}\right)\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{{(-b)}^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}.\]Or, comme $\Delta$ est nul, $b^2=4ac$. D’où :\[ x_0x_0=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.\]En résumé,\[x_0+x_0=-\frac{b}{a}\text{ et }x_0x_0=\frac{c}{a}.\]
Une des applications des relations coefficients-racines est la suivante.
Soit $P$ un polynôme du second degré : $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a$ non nul).
Supposons que nous ayons une racine $x_1$ non nulle évidente (obtenue sans calcul). Pour avoir la deuxième racine, il est inutile de calculer le discriminant. Comme le produit des racines est alors connu $\left(\dfrac{c}{a}\right)$, en divisant ce produit par $x_1$, nous obtenons cette deuxième racine.
Bien sûr, nous pouvons raisonner en utilisant la somme des racines au lieu du produit des racines.
- Soit $P(x)=x^2+2x-3$.
Nous voyons que $x_1=1$ est racine de $P$ ($P(1)=0$). Le produit des racines de $P$ étant $-\dfrac{3}{1}=-3$, nous en déduisons que la deuxième racine est $-3$. - Soit $P(x)=3x^2+x-14$.
Nous voyons que $x_1=2$ est racine de $P$ ($P(2)=0$). Le produit des racines de $P$ étant $-\dfrac{14}{3}$, nous en déduisons que la deuxième racine est $\dfrac{\dfrac{-14}{3}}{2}=\dfrac{-14}{6}=-\dfrac{7}{3}$. - Soit $P(x)=x^2+x-2$.
Nous voyons que $x_1=1$ est racine de $P$ ($P(1)=0$). Le produit des racines de $P$ étant $-\dfrac{1}{1}=-1$, nous en déduisons que la deuxième racine est $-2$.
Nous avons une propriété réciproque afin de pouvoir déterminer un polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ connaissant la somme $S$ de ses racines et le produit $P$ de ses racines.
En effet, il est clair qu’un tel polynôme est déterminé à une constante multiplicative près (si $P_0$ convient, alors pour tout $k$ réel non nul, $kP_0$ convient aussi). Nous pouvons donc chercher un polynôme dont le coefficient $a$ de $x^2$ soit $1$ et il suffit alors de poser $b=-S$ et $c=P$ pour obtenir une solution : $P(x)=x^2-Sx+P.$
Nous avons donc la propriété suivante.
L’ensemble des polynômes dont la somme des racines est $S$ et le produit des racines est $P$ est l’ensemble des polynômes de la forme $k(x^2-Sx+P)$ où $k$ est une constante réelle non nulle.
Les relations entre les coefficients et les racines que nous venons de voir seront en année supérieure revues et généralisées au cas d’un polynôme de degré $n$.