Chapitre 14Logique

Les expressions « quel que soit… » et « pour tout… » permettent de considérer tous les éléments d’un ensemble sans exception. On note aussi « ∀… » en langage mathématique.

La proposition « $\forall x\in \R,\ x^2\geq 0$ » se lit « pour tout réel $x$, $x^2\geq 0$ » ou « quel que soit le réel $x$, $x^2\geq 0$ ». Elle signifie que le carré de n’importe quel nombre réel est positif ou nul, sans exception.

L’expression « il existe… » signifie qu’on peut trouver au moins un élément de l’ensemble considéré qui vérifie la propriété énoncée en suite. On note aussi « ∃… » en langage mathématique.

1. La proposition « $\exists (a,b)\in \R^2,\ \sqrt{a+b}=3$ » se lit « il existe un coupe de réels $a$ et $b$ tels que $\sqrt{a+b}=3$ ». Cela signifie qu’on peut trouver deux réels ayant cette propriété, par exemple en prenant $a=13$ et $b=-4$. Ici, cette propriété n’est pas vérifiée pour n’importe quel couple ($\sqrt{a+b}$ n’étant même pas défini dans certains cas).
2. La proposition « $\exists x\in \R,\ x^2\geq 0$ » se lit « il existe un réel $x$ tel que $x^2\geq 0$ ». La propriété $x^2\geq 0$ étant vraie pour tout réel $x$, il existe donc bien au moins un réel $x$ vérifiant cette propriété, par exemple $x=1$.

1. Pour montrer qu’une proposition commençant par « il existe… » est vraie, il suffit en général de trouver un exemple.
2. Pour montrer qu’une proposition commençant par « pour tout… » est vraie, il faut examiner tous les cas et on ne peut pas se contenter d’un ou plusieurs exemples.
3. Pour montrer qu’une proposition commençant par « il existe… » est fausse, il faut prouver qu’il n’existe aucun élément vérifiant la propriété, c’est-à-dire que pour tout élément, la propriété est fausse. Cela revient à démontrer une proposition commençant par « pour tout… ».
4. Pour montrer qu’une proposition commençant par « pour tout… » est fausse, il faut prouver qu’il existe au moins un élément ne vérifiant pas la propriété, c’est-à-dire un contre-exemple pour lequel la propriété est fausse. Cela revient à démontrer une proposition commençant par « il existe… ».

1. Il existe des solutions réelles de l’équation $\tan ⁡x=x$. En effet, $x=0$ est une solution. Ici, il est inutile de chercher toutes les solutions de l’équation, une seule suffit.
2. Pour tous réels $a$ et $b$ positifs, $\frac{(a+b)}{2} \geq \sqrt{ab}$.En effet, ${(\sqrt a-\sqrt b)}^2\geq 0\implies {\sqrt a}^2+{\sqrt b}^2-2\sqrt a \sqrt b\geq 0\implies a+b\geq 2\sqrt{ab}$. On dit que la moyenne arithmétique de deux nombres positifs est supérieure à leur moyenne géométrique. La preuve de la propriété doit obligatoirement être conduite avec des nombres sous forme littérale. Prouver la propriété pour quelques couples (1 et 2, 5 et 100, etc.) ne prouve pas la propriété pour n’importe quel couple.
3. La proposition « il existe des nombres entiers positifs strictement supérieurs à leur carré » est fausse. Soit $n$ un tel entier ($n\geq 0$). Résolvons l’inéquation $n\gt n^2$ : $n-n^2\gt 0$ soit $n(1-n)\gt 0$ qui implique, puisque $n\geq 0$, que $n\gt 0$ et $1-n\gt 0$ soit $1\gt n\gt 0$ or il n’y a pas de nombre entier strictement compris entre $0$ et $1$. Notez ici que pour montrer que la proposition est fausse, il a fallu considérer tous les entiers et utiliser une lettre représentant n’importe quel entier dans les calculs.
4. La proposition « toute suite strictement croissante admet pour limite +∞ » est fausse : la suite définie par $u_n=\frac{n}{n+1}$ pour $n\in \mathbb{N}$ est strictement croissante mais sa limite est 1.