On appelle implication toute proposition conditionnelle de la forme si $A$ alors $B$ où $A$ et $B$ sont des propositions. Une implication peut être vraie ou fausse et on la note aussi $A \implies B$ qui se lit $A$ implique $B$.
- « si $x=3$ alors $x^2=9$ » est une implication vraie.
- « si $x=5$ alors $3x= 20$ » est une implication fausse car lorsque $x=5$, $3x=15$ et $15\ne 20$.
Pour montrer que l’implication « si $A$ alors $B$ » est vraie, on suppose que la proposition $A$ est vraie, puis on en déduit, après une ou plusieurs étapes de raisonnement, que la proposition $B$ est vraie.
Pour montrer que l’implication « si $A$ alors $B$ » est fausse, il faut montrer que la proposition $A$ peut être vraie alors que la proposition $B$ est fausse (il s’agit souvent de trouver un contre-exemple).
- Pour montrer que « si $x\leq 3$ alors $x–3–x^2\leq 0$ » est vraie, on suppose $x\leq 3$ et on en déduit $x–3\leq 0$ ; comme un carré est toujours positif, $x^2\geq 0$ donc $–x^2\leq 0$. En ajoutant deux nombres négatifs, on obtient un nombre négatif donc $x–3–x^2\leq 0$.
- Pour montrer que « si $x^2\geq 1$ alors $x\geq 1$ » est une implication fausse, on cherche un contre-exemple, c’est-à-dire ici un réel $x\lt 1$ tel que $x^2\geq 1$. Le réel $x=-2$ convient : $(-2)^2=4\geq 1$ mais $-2\lt 1$. Ce réel contredit l’implication, elle est donc fausse.
Lorsque la propriété « si $A$ alors $B$ » est vraie, on dit que $A$ est une condition suffisante pour $B$ ; on dit aussi qu’il suffit d’avoir $A$ pour avoir $B$.
- Comme « $(x=-2)\implies (x^2=4)$ » est vraie, on peut dire que « $x=-2$ est une condition suffisante pour avoir $x^2=4$ ». On peut aussi dire « il suffit que $x=-2$ pour que $x^2=4$ ».
- Il suffit que $ABCD$ soit un losange pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.