Chapitre 14Logique

La conjonction des propositions $A$, $B$ est la proposition notée $A$ et $B$ qui est vraie uniquement lorsque $A$ et $B$ sont vraies toutes les deux.

1. « $(2\lt 4)$ et $(3^2=9)$ » est une proposition vraie car « $2\lt 4$ » est vraie et « $3^2=9$ » aussi.
2. « (Lyon est la capitale de la France) et (aujourd’hui il fait beau) » est une proposition fausse car la proposition « Lyon est la capitale de la France » est fausse, peu importe que la proposition « aujourd’hui il fait beau » soit vraie ou fausse.

La disjonction des propositions $A$, $B$ est la proposition notée $A$ ou $B$ qui est vraie lorsqu’au moins l’une des deux propositions $A$ ou $B$ est vraie (l’une ou l’autre, voire les deux).

1. « $(5+1=7)$ ou $(1\gt 0)$ » est vraie car « $1\gt 0$ » est vraie.
2. « $(x^2\lt 0)$ ou $(\sqrt 2\text{ est un nombre rationnel})$ » est fausse car chacune des deux propositions est fausse.
3. « $(x\lt 3)$ ou $(x\geq 0)$ » est vraie car soit « $x\lt 3$ » est vraie, soit « $x\lt 3$ » est fausse mais alors comme $x\geq 3$, « $x\geq 0$ » est vraie.

On dit que le ou est inclusif car la proposition $A$ ou $B$ est vraie quand $A$ et $B$ sont vraies en même temps. Lorsqu’on dit que « la porte est ouverte ou fermée », les deux propositions « la porte est ouverte » et « la porte est fermée » ne sont pas vraies en même temps. On parle alors d’un ou exclusif et lorsque c’est cette signification là que l’on désire en mathématiques, il faut impérativement préciser qu’on utilise un ou exclusif.