Chapitre 14Logique

1. Il suffit que $x=2$ pour que $x^2=4$.
2. Il faut et il suffit que $\ln ⁡x=1$ pour que $x=e$.
3. Il suffit que la fonction $f$ soit croissante pour que $f(3)\geq f(0)$.
4. Il faut que $\cos ⁡x=1$ pour que $x=0$.
5. Il faut et il suffit que $x^2=x$ pour que $x=0$ ou $x=1$.

1. $a=b\implies |a|=|b|$
2. $ab=0\impliedby b=0$
3. $|a|=|b|\iff a^2=b^2$
4. $ab\gt 0\impliedby a\gt 0\text{ et }b\gt 0$
5. $a+b=b\iff a=0$

1. 1. Vraie. Il s’agit d’un théorème du cours de géométrie.
   2. Faux. Elles peuvent être sécantes et distinctes donc non parallèles.
   3. Faux. Les deux plans $P_1$ et $P_2$ peuvent être sécants en $D$ et non confondus.
2. 1. Si les deux droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles alors $d_1$ et $d_2$ sont parallèles à la droite $D$. C’est faux par exemple en prenant $D$ perpendiculaire à $d_1$ et $d_2$.La véracité d’une réciproque est indépendante de la véracité de l’implication d’origine. Tous les cas de figure sont possibles.
   2. Si les deux droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles alors $d_1$ ou $d_2$ n’est pas parallèle au plan $P$. Elle est fausse car une implication et sa contraposée sont vraies en même temps et fausses en même temps, or la seconde implication est fausse. On peut aussi voir que le même type de contre-exemple convient : on prend deux droites $d_1$ et $d_2$ sécantes et distinctes incluses dans le plan $P$.
   3. Il existe deux plans $P_1$ et $P_2$, chacun parallèle à la droite $D$ mais non parallèles entre eux. Elle est vraie car l’implication #3 est fausse.

1. 1. Oui. La fonction $f:x\mapsto x$ est continue et dérivable sur $[-1,1]$.
   2. Oui. La fonction $f:\begin{cases}\hphantom{x\ne\;}0\mapsto 2 \\x\ne 0\mapsto x\end{cases}$ n’est ni continue, ni dérivable sur $[-1,1]$.
   3. Non car une fonction dérivable sur $[-1,1]$ est nécessairement continue sur $[-1,1]$.
   4. Oui. La fonction $f:\mapsto|x|$ est continue mais pas dérivable en $0$.
2. 1. $f$ n’est pas continue ou $f$ n’est pas dérivable sur $[-1,1]$.
   2. $f$ est continue ou $f$ est dérivable sur $[-1,1]$.
   3. $f$ n’est pas dérivable ou $f$ est continue sur $[-1,1]$.
   4. $f$ est dérivable ou $f$ n’est pas continue sur $[-1,1]$.

1. Faux. En prenant $u_n=n$ et $v_n=-n$, on a deux suites divergentes mais $u_n+v_n=0$ qui est le terme général d’une suite constante donc convergente.
2. Faux. En prenant $u_n=\dfrac{1}{n}$ et $v_n=n^2$, la suite $\bigl(u_n\bigr)$ converge vers $0$ mais le produit $u_n v_n=n$ n’est pas le terme général d’une suite convergente.

$2 \sin x=\sin(2x)\iff 2\sin x=2\sin x\cos x$.
Mais on ne peut pas toujours diviser chaque membre par $2 \sin x$ qui peut être nul. Il n’y a donc pas équivalence mais on a l’implication $\cos x=1\implies 2\sin x=\sin(2x)$.

1. $f'(a)=0$ est une condition nécessaire pour que $f$ admette un maximum en $a$.
2. $f$ admet un extremum en $a$ est une condition suffisante pour que $f'(a)=0$.
3. Que $f$ soit une fonction décroissante est une condition nécessaire et suffisante pour que $f'(x)\leq 0$ pour tout réel $x$.
4. $f'(a)\gt 0$ est une condition suffisante pour que $f$ n’admette pas d’extremum en $a$.

Une condition nécessaire pour que $x=1$ soit solution de l’équation est que $a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=0$. C’est-à-dire que $a+b+c=0$.
Cette condition est aussi suffisante car si $a+b+c=0$, alors $a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=0$, ce qui signifie que $x=1$ est solution de l’équation $ax^2+bx+c=0$.