Chapitre 14Logique

Fromage ou Dessert ?

Dans un menu au restaurant, la mention « fromage ou dessert » est indiquée. Pensez-vous que l’on puisse prendre à la fois le fromage et le dessert ?

Lorsqu’un accident de la route grave se produit, on met généralement en cause la vitesse excessive ou un taux d’alcoolémie élevé. A-t-on exclu la possibilité d’une vitesse excessive sous l’emprise de l’alcool ?

Nous avons ici deux significations du mot ou en français : le ou exclusif utilisé dans le premier exemple (les deux occurrences mentionnées ne peuvent pas avoir lieu simultanément, on ne peut pas prendre fromage et dessert) ; et le ou inclusif dans le second exemple (les deux occurrences peuvent avoir lieu simultanément, vitesse excessive et alcool peuvent s’être combinées pour causer l’accident).

En français, plusieurs sens peuvent être acceptés pour des mots logiques comme le mot ou mais cela n’est pas compatible avec la rigueur requise en mathématiques. Le vocabulaire logique mathématique doit dont être précisément défini et dans certains cas, comme ici pour le ou, la signification mathématique sera un peu différente de la signification usuelle.

Un mensonge ?

Théo demande à son père s’il peut aller regarder la télé.

– As-tu fait tes devoirs ?
– Non.
– Si tu n’as pas fait tes devoirs, tu ne peux pas aller regarder la télévision.

A la suite de cette discussion avec son père, Théo part dans sa chambre faire son travail. Il retourne voir son père une heure plus tard, fier de lui, et lui demande alors :

– Papa, j’ai fait tous mes devoirs, je peux aller regarder la télé maintenant ?
– Non, il est trop tard maintenant.

Théo, très déçu, part dans sa chambre en pleurant :

– Papa, tu es un menteur ! Tu m’avais dit que je pourrais regarder la télévision si j’avais fait mes devoirs.

Pensez-vous que le père de Théo lui a menti ?

Il n’y a aucun mensonge ici. Quand le père de Théo lui dit que s’il ne fait pas ses devoirs, il ne pourra pas regarder la télévision, cela ne précise pas ce que pourra faire Théo s’il fait ses devoirs. La confusion provient d’un sous-entendu : la phrase « si tu ne fais pas ceci tu ne pourras pas faire cela » sous-entend que « si tu fais ceci, tu pourras faire cela ».

Il n’y a pas de sous-entendus en mathématiques et les expressions logiques ont une signification précise que nous étudierons dans ce chapitre.