Rappels sur la notion de puissance
L’étude élémentaire des puissances se fait à l’école élémentaire dans le cadre de l’algèbre élémentaire.La notion de puissance est alors vue comme un cas particulier de celle de produit. Mais alors, il est étudié que la notion de puissance d’exposant entier.
La puissance d’exposant entier strictement positif $n$ d’un nombre réel est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même $n$ fois.
La puissance est à la multiplication ce que la multiplication est à l’addition.
On introduit ensuite les puissances d’exposant entier strictement négatif d’un nombre réel non nul, inverses des puissances d’exposant entier strictement positif de ce nombre réel, nombre réel qui doit être alors non nul.
A propos de $0^0$
Attention, $0^0$ est une source d’erreur…
Comme nous allons le voir dans le développement de ce module, nous avons deux définitions de la fonction « puissance », l’une que nous qualifierons d’élémentaire (il s’agit de celle décrite rapidement dans le point ci-dessus), l’autre plus « élaborée » et qui utilise les fonctions logarithme et exponentielle.
Pour un $x$ donné, lorsque nous pouvons appliquer les deux définitions, nous obtenons (heureusement) le même résultat.
Mais, nous verrons que leurs domaines de définition ne sont pas les mêmes et suivant le contexte de l’exercice, de l’application,etc, nous devrons choisir (soit implicitement, soit explicitement) l’une des deux définitions.
En mathématiques, souvent, pour définir des expressions de la forme ab, nous utiliserons la définition avec les fonctions logarithme et exponentielle.
Nous verrons alors que pour la recherche de limite, la forme $0^0$ est une forme indéterminée !!!!Nous verrons dans les exercices qui suivent ce module que nous pouvons obtenir divers résultats pour une limite se présentant sous cette forme $0^0$.