Fonction exponentielle de base $a$
Soit $a$ un réel strictement positif, on adopte la notation suivante :\[\forall x\in\R,\; a^x=\e^{x\ln(a)}.\]La fonction $f$ de $\R$ dans $\R$, définie par $f(x)=a^x$, est appelée la fonction exponentielle de base $a$.
La définition de l’exponentielle permet de donner un sens à la notation $a^b$ avec $a$ réel strictement positif et $b$ réel. En effet :\[a^b=\e^{b\cdot\ln(a)}.\]
Il faut faire très attention à l’emploi de cette définition. Par exemple, le problème suivant se pose.
Lors de l’étude de la fonction $f_2$ définie par $f_2(x)=x^2$, nous avons considérer dans ce chapitre que c’est une fonction puissance, définie par $f_2(x)=x^2=x\cdot x$ et donc cette fonction est définie sur $\R$.
Si nous utilisons la définition à l’aide de « $a^b=\e^{b\cdot\ln(a)}$ », nous obtenons : $f_2(x)=x^2=e^{2\cdot\ln(x)}$ et alors cette fonction est définie sur $\R^*$…
Pour éviter ces problèmes, nous devrons indiquer la définition choisie. L’usage veut qu’en l’absence d’indication, si nous utilisons « $x^n$ » avec $n$ rationnel, nous utilisons la définition élémentaire vue dans la partie de ce module consacrée aux fonctions puissances (cela permet d’avoir un ensemble de définition plus grand).
Il est important de remarquer que pour $x$ réel strictement positif, les deux définitions de « $x^n$ » (élémentaire ou avec les fonctions $\ln$ et $\exp$) coïncident.
Par contre, si nous avons à utiliser « $x^\alpha$ » avec $\alpha$ irrationnel, nous utiliserons obligatoirement la définition avec les fonctions $\ln$ et $\exp$ (la définition élémentaire ne pouvant alors s’utiliser).
$\pi^{\sqrt{2}}=\e^{\sqrt{2}(\ln\pi)}$
- La fonction exponentielle $f(x)=\exp(x)=\e^x$ est donc la fonction exponentielle de base $\e$.
- On fera bien la différence entre les fonctions $f$ et $g$ définie par $f(x)=2^x$ et $g(x)=x^2$.$f$ est une fonction exponentielle, puisque $f(x)=\e^{x\ln 2}$, alors que $g$ est une fonction puissance.
Pour tout réel $x$, on a : $f'(x)=(\ln 2)\e^{x\ln 2}=(\ln 2)2^x=(\ln 2)f(x)$ et $g'(x)=2x$.
Faisons les représentations graphiques $C_f$ et $C_g$ de ces deux fonctions dans un même graphique :
Graphique en cours de réalisation.
Soient $a$, $a’$ deux réels strictement positifs et $x$, $x’$ deux réels quelconques. On a :
- $a^{x+x’}=a^xa^{x’}$ et $a^{x-x’}=\dfrac{a^x}{a^{x’}}$
- ${\left(\dfrac{a}{a’}\right)}^x=\dfrac{{(a)}^x}{{(a’)}^x}$ et ${\left(\dfrac{a}{a’}\right)}^x=\dfrac{{(a)}^x}{{(a’)}^x}$
- ${\left(a^x\right)}^{x’}=a^{xx’}$
- $1^x=1$
Nous nous limiterons à la démonstration de la première propriété, les autres se démontrant de manière similaire.
$a^{x+x’}=\e^{(x+x’)\ln(a)}=\e^{x\ln(a)+x’\ln(a)}=\e^{x\ln(a)}\cdot \e^{x’\ln(a)}=a^xa^{x’}$.
$a^{x-x’}=\e^{(x-x’)\ln(a)}=\e^{x\ln(a)-x’\ln(a)}=\dfrac{e^{x\ln(a)}}{\e^{x’\ln(a)}}=\dfrac{a^x}{a^{x’}}$.
Les fonctions $\ln$ et $\exp$ sont des bijections réciproques l’une de l’autre. Nous avons aussi les fonctions loga et exponentielle de base a bijections réciproques l’une de l’autre.
Soit $a$ un réel strictement positif. Alors on a :\[\forall x\in\R,\;y=\log_a(x)\iff x=a^y.\]
Pour tout réel $x$, on a :\[y=\log_a(x)\iff y=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\iff\ln(x)=y\ln(a).\]Or :\[\ln(x)=y\ln(a)\iff x=\e^{y\ln(a)}\iff x=a^y.\]
Résoudre dans $\R$ l’équation $3^{x+2}+9^{x-1}=1458$.
Cette équation peut s’écrire :\[9\cdot 3^x+{\left({3^2}\right)}^{x-1}=1458\quad\text{soit}\quad 9\cdot 3^x+\frac{1}{9}{{\left(3^x\right)}^2}-1458=0.\]On fait le changement de variable $X=3^x$.
On obtient :\[\frac{1}{9}{X^2}+9\cdot X-1458=0\text{ soit }X^2+81X-1122=0.\]On calcule le discriminant : $\Delta=59049={{243}^2}$.
On en déduit que $X=-162$ ou $X=81$, et il reste à résoudre : $3^x=-162$ ou $3^x=81$.
- L’équation $3^x=-162$ est impossible car $3^x\gt 0$.
- $3^x=81 \iff x=\log_3(81) \iff x=\dfrac{\ln(81)}{\ln(3)} \iff x=\dfrac{\ln(3^4)}{\ln(3)}$, soit $x=4$.
En conclusion, cette équation admet une unique solution qui est $x=4$.
Etude de quelques autres fonctions exponentielles
On a :\[\forall x\in\R,\;f(x)=\e^{x\ln 2}.\]
- Étude des limites
Nous savons que $\ln(2)$ est strictement positif, donc : $\lim\limits_{x\to -\infty}\;f(x)=0^+$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\;f(x)=+\infty$. - Étude des variations
Cette fonction est dérivable sur $\R$, et on a pour tout réel $x$, $f'(x)=\ln(2)\cdot\e^{x\ln 2}\gt 0$.
La fonction est donc strictement croissante sur $\R$, et on en déduit son tableau de variation :\[\begin{array}{|c|lcr|}\hlinex & -\infty & & +\infty \\\hlinef'(x) & & + \\\hlinef(x) & 0^+ & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline\end{array}\] - Graphe
En cours de réalisation.
On a :\[\forall x\in\R,\;g(x)=\e^{x\ln\left(\frac{2}{3}\right)}.\]
- Étude des limites
Nous savons que $\ln\left(\dfrac{2}{3}\right)$ est strictement négatif, donc : $\lim\limits_{x\to -\infty}\;g(x)=+\infty $ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\;g(x)=0^+$. - Étude des variations
Cette fonction est dérivable sur $\R$, et on a, pour tout réel $x$ : $g'(x)=\ln\left(\dfrac{2}{3}\right)\e^{x\ln\left(\frac{2}{3}\right)}\lt 0$.
La fonction est donc strictement décroissante sur $\R$, et on en déduit son tableau de variation :\[\begin{array}{|c|lcr|}\hlinex & -\infty & & +\infty \\\hlineg'(x) & & – \\\hlineg(x) & +\infty & \quad\searrow\quad & 0^+ \\\hline\end{array}\] - Graphe
En cours de réalisation.