ThéoriesFonctions puissances

Fonction puissance $n$, $n$ entier naturel non nul

Nous nous limiterons dans ce développement à la définition élémentaire de la fonction puissance. Ainsi, nous n’utiliserons pas pour la définir la fonction logarithme et la fonction exponentielle, cela sera fait dans la suite de ce chapitre, après avoir défini et étudié ces deux dernières fonctions.

Définition

Soit $n$ un entier naturel non nul.
La fonction « puissance $n$ » est la fonction qui à $x$ associe $x^n=\underbrace{x.x…x}_\text{$n$ fois}$.

Notons $f_n$ cette fonction : $f_n(x)=x^n$ avec $n$ un entier naturel non nul.

Nous avons en utilisant la définition de la fonction puissance les résultats suivants :

Propriété
  1. Pour tous $n$ et $m$ entiers naturels non nuls,\[x^{n+m}=x^nx^m.\]
  2. Pour tous $n$ et $m$ entiers naturels non nuls,\[{(x^n)}^m=x^{nm}\]

Laissée au lecteur à l’aide de la définition.

ActivitéEtude de la fonction $f_n(x)=x^n$ avec $n$ un entier naturel non nul
  1. Ensemble de définition
    $D=\R$.
  2. Etude de la parité
    Si $n$ est pair, $f_n$ est paire et si $n$ est impair, $f_n$ est impaire.
    Ainsi, il suffit d’étudier $f_n$ sur $\R^+$, et en utilisant le fait que $f_n$ est paire ou impaire, nous en déduirons l’étude sur $\R$.
  3. Etude des limites
    Nous avons immédiatement :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;{f_n}(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0}\;{f_n}(x)=f(0)=0.\]
  4. Etude des variations
    $f_n$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, ${f_n}'(x)=n{x^{n-1}}$. Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, ${f_n}'(x)\gt 0$ et ${f_n}'(0)=0$. Ainsi, $f_n$ est strictement croissante sur $\R^+$.
    Comme $f_n$ est continue (par exemple, car elle est dérivable) sur $\R$, en tenant compte de la parité de $n$, nous obtenons le résultat suivant :.
    Pour $n$ entier naturel non nul pair, la fonction $f_n$ définie par $f_n(x)=x^n$ est une bijection de $\R^+$ dans $\R^+$.
    Pour $n$ entier naturel impair, la fonction $f_n$ définie par $f_n(x)=x^n$ est une bijection de $\R$ dans $\R$.

    Nous en déduisons le tableau de variation :
    • Si $n$ est pair.\[\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline {f_n}'(x) & & – & 0 & + & \\\hline f_n(x) & +\infty & \quad\searrow\quad & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline\end{array}\]
    • Si $n$ est impair.\[\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline {f_n}'(x) & & + & 0 & + & \\\hline f_n(x) & -\infty & \quad\nearrow\quad & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline\end{array}\]
  5. Graphe
    Voir l'animation

Fonction puissance ($-n$), $n$ entier naturel non nul

Définition

Soit $n$ un entier naturel non nul.
La fonction « puissance ($-n$) » est la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{1}{x^n}=\dfrac{1}{\underbrace{x\cdot x\dotsm x}_\text{$n$ fois}}$.

Notons $f_{-n}$ cette fonction : $f_{-n}(x)=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n$ un entier naturel non nul.

Nous avons en utilisant la définition de la fonction puissance les résultats suivants :

Propriété
  1. Pour tout $n$ et $m$ entiers non nuls,\[x^{n+m}=x^nx^m.\]
  2. Pour tout $n$ et $m$ entiers non nuls,\[{(x^n)}^m=x^{nm}.\]

Laissée au lecteur à l’aide de la définition.

ActivitéEtude de la fonction $f_{-n}=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n$ un entier naturel non nul
  1. Ensemble de définition
    $D=\R^*$
  2. Etude de la parité
    Si $n$ est pair, $f_{-n}$ est paire et si $n$ est impair, $f_{-n}$ est impaire.
    Ainsi, il suffit d’étudier $f_{-n}$ sur $\R^{*+}$, et en utilisant le fait que $f_{-n}$ est paire ou impaire, nous en séduirons l’étude sur $\R^*$.
  3. Etude des limites
    Nous avons immédiatement :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;f_{-n}(x)=0\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\;f_{-n}(x)=+\infty.\]Ainsi, l’axe des abscisses (d’équation « $y=0$ ») est asymptote au graphe de $f_{-n}$ en $+\infty$ et l’axe des ordonnées (d’équation « $x=0$ ») est asymptote au graphe de $f_{-n}$.
  4. Etude des variations
    $f_{-n}$ est dérivable sur $\R^*$ et pour tout réel $x$ non nul, $f_{-n}'(x)=-nx^{-n-1}$.Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f_{-n}'(x)\lt 0$.Ainsi, $f_{-n}$ est strictement décroissante sur $\R^+$.Nous en déduisons les tableaux de variation en fonction de la parité de $n$ :
    • Si $n$ est pair.\[\begin{array}{|c|lcr|c|lcr|}\hline x & -\infty & & 0^- &\!\!\!\! & 0^+ & & +\infty \\\hline {f_n}'(x) & & + & &\!\!\!\! & & – & \\\hline f_n(x) & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty &\!\!\!\! & +\infty & \quad\searrow\quad & 0 \\\hline\end{array}\]
    • Si $n$ est impair.\[\begin{array}{|c|lcr|c|lcr|}\hline x & -\infty & & 0^- &\!\!\!\! & 0^+ & & +\infty \\\hline {f_n}'(x) & & – & &\!\!\!\! & & – & \\\hline f_n(x) & 0 & \quad\searrow\quad & -\infty &\!\!\!\! & +\infty & \quad\searrow\quad & 0 \\\hline\end{array}\]
  5. Graphe
    Voir l'animation