Chapitre 11Fonctions de référence

Soit $n$ un entier naturel pair non nul. La fonction puissance n-ième est une bijection de $\R^+$ dans $\R^+$.
Sa bijection réciproque définie de $\R^+$ dans $\R^+$ est par définition la fonction racine n-ième et nous noterons racine n-ième de $x$ par $\sqrt[n]{x}$.

Pour tout réel positif $x$,\[{\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)}^n=x\quad\text{et}\quad\sqrt[n]{x^n}=x.\]

Par analogie avec les propriétés des fonctions puissance n-ième avec $n$ entier naturel non nul Pour tous entiers naturels non nuls $n$ et $m$, ${(x^n)}^m=x^{nm}$, nous noterons indifféremment la fonction racine n-ième $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{1/n}$.

Pour tout réel positif $x$,\[{\left({x^{1/n}}\right)}^n=x\quad\text{et}\quad{(x^n)}^{1/n}=x.\]

Notons $f_{\frac{1}{n}}$ la fonction racine n-ième :
\[f_{\frac{1}{n}}(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}\text{ avec $n$ un entier naturel pair non nul}.\]

1. Ensemble de définition
   $D=\R^+$.
2. Etude des limites
   Nous avons immédiatement :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;{f_{\frac{1}{n}}}(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\;{f_{\frac{1}{n}}}(0)=f(0)=0.\]
3. Étude des variations
   ${f_{\frac{1}{n}}}$ est dérivable sur $\R^{*+}$ et pour tout réel $x$ strictement positif, $f_{\frac{1}{n}}'(x)=\dfrac{1}{n}{x^{1/n-1}}$.
   Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f_{\frac{1}{n}}'(x)\gt 0$.
   Ainsi, ${f_{\frac{1}{n}}}$ est strictement croissante sur $\R^+$.Nous en déduisons le tableau de variation :\[\begin{array}{|c|lcr|}\hlinex & 0 & & +\infty \\\hline{f_n}'(x) & & + \\\hlinef_n(x) & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline\end{array}\]
4. Cas particulier : la fonction racine carrée
   La fonction ${f_{\frac{1}{2}}}$ est la fonction racine carrée, définie par ${f_{\frac{1}{2}}}(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$ ; elle est définie sur $\R^+$ et dérivable sur $\R^{*+}$. Pour tout réel $x$ strictement positif,\[f_{\frac{1}{2}}'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]En $0$, la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ n’est pas dérivable mais le graphe de la fonction admet au point d’abscisse $0$ une demi-tangente verticale.
   En effet :\[\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{f_{\frac{1}{2}}(x)-f_{\frac{1}{2}}(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{\sqrt{x}}x=\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty.\]
5. Graphe
   Voir l'animation

Soit $n$ un entier naturel impair. La fonction puissance n-ième est une bijection de $\R$ dans $\R$.

Sa bijection réciproque définie de $\R$ dans $\R$ est par définition la fonction racine n-ième et nous noterons racine n-ième de $x$ par $\sqrt[n]{x}$.

Pour tout réel $x$,\[{\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)}^n=x\quad\text{et}\quad\sqrt[n]x^n=x.\]

Par analogie avec les propriétés algébriques des fonctions puissance n-ième avec $n$ entier naturel non nul Pour tous entiers naturels non nuls $n$ et $m$, ${{(x^n)}^m}={x^{nm}}$, nous noterons indifféremment la fonction racine n-ième $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{1/n}$.

Pour tout réel $x$,\[{\left({x^{1/n}}\right)}^n=x\quad\text{et}\quad{(x^n)}^{1/n}=x.\]

Notons ${f_{\frac{1}{n}}}$ la fonction racine n-ième : ${f_{\frac{1}{n}}}(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$, avec $n$ un entier naturel impair.

1. Ensemble de définition
   $D=\R$.
2. Etude de la parité
   $f_{\frac{1}{n}}$ est impaire. Nous l’étudierons donc dans un premier temps sur $\R^+$ et nous en déduirons les propriétés sur $\R$ grâce à la parité de la fonction.
3. Étude des limites
   Nous avons immédiatement :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;{f_{\frac{1}{n}}}(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\;{f_{\frac{1}{n}}}(0)=f(0)=0.\]
4. Étude des variations
   ${f_{\frac{1}{n}}}$ est dérivable sur ${\R^*}$ (Lien vers le module dérivation) et pour tout réel $x$, $f_{\frac{1}{n}}'(x)=\dfrac{1}{n}{x^{1/n-1}}$.
   Donc, pour tout réel strictement positif $x$, $f_{\frac{1}{n}}'(x)\gt 0$. Ainsi, ${f_{\frac{1}{n}}}$ est strictement croissante sur $\R^+$.
   Nous en déduisons le tableau de variation :
   \[\begin{array}{|c|lcccr|}\hlinex & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline{f_n}'(x) & & + & || & + & \\\hlinef_n(x) & -\infty & \quad\nearrow\quad & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline\end{array}\]
5. Cas particulier de la fonction racine cubique
   La fonction ${f_{\frac{1}{3}}}$ est la fonction racine cubique, définie par $f_{\frac{1}{3}}(x)=\sqrt[3]x=x^{1/3}$ ; elle est définie sur $\R$ et dérivable sur ${\R^*}$.
   Pour tout réel $x$ non nul, $f_{\frac{1}{3}}'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’=\left(x^{1/3}\right)’=\dfrac{1}{3}{x^{-2/3}}=\dfrac{1}{3x^{2/3}}$.
   En $0$, la fonction $f_{\frac{1}{3}}$ n’est pas dérivable mais le graphe de la fonction admet au point d’abscisse $0$ une demi-tangente verticale.
   En effet :\[\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{{f_{\frac{1}{3}}}(x)-{f_{\frac{1}{3}}}(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{\sqrt[3]x-\sqrt[3]{0}}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{\sqrt[3]{x}}x &=\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{1}{x^{2/3}} \\&=\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{1}{{\left(x^{1/3}\right)}^2}=+\infty.\end{align*}\]
6. Graphe
   Voir l'animation

• Pour $q$ entier relatif non nul pair et pour $p$ entier relatif, nous avons :Pour tout réel $x$ positif, \[x^{\frac{p}{q}}={\left({x^{\frac{1}{q}}}\right)}^p={(x^p)}^{\frac{1}{q}}.\]
• Pour $q$ entier relatif impair et pour $p$ entier relatif, nous avons our tout réel $x$ :\[x^{\frac{p}{q}}={\left({x^{\frac{1}{q}}}\right)}^p={(x^p)}^{\frac{1}{q}p}.\]

1. Pour tout réel $x$ positif, pour tous rationnels $n$ et $m$ non nuls et de somme non nulle,\[x^{n+m}=x^nx^m.\]
–
2. Pour tout réel $x$ positif, pour tous rationnels $n$ et $m$ non nuls,\[{(x^n)}^m=x^{nm}.\]