ThéoriesAutres fonctions puissances

Cas où $n$ est un entier naturel non nul pair

Nous avons vu précédemment que la fonction $f_n$ définie par $f_n(x)=x^n$ est paire. Donc, elle n’est pas une bijection de $\R$ dans $\R$. Mais nous avons vu qu’elle était continue et strictement croissante sur $\R^+$ et l’image de $\R^+$ est $\R^+$. Ainsi, $f_n$ est une bijection de $\R^+$ dans $\R^+$. Nous allons ici étudier ici sa bijection réciproque.

Définition

Soit $n$ un entier naturel pair non nul. La fonction puissance n-ième est une bijection de $\R^+$ dans $\R^+$.
Sa bijection réciproque définie de $\R^+$ dans $\R^+$ est par définition la fonction racine n-ième et nous noterons racine n-ième de $x$ par $\sqrt[n]{x}$.

Ainsi, nous avons la propriété :

Propriété

Pour tout réel positif $x$,\[{\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)}^n=x\quad\text{et}\quad\sqrt[n]{x^n}=x.\]

Notation

Par analogie avec les propriétés des fonctions puissance n-ième avec $n$ entier naturel non nul Pour tous entiers naturels non nuls $n$ et $m$, ${(x^n)}^m=x^{nm}$, nous noterons indifféremment la fonction racine n-ième $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{1/n}$.

Ainsi, la propriété précédente devient :

Propriété

Pour tout réel positif $x$,\[{\left({x^{1/n}}\right)}^n=x\quad\text{et}\quad{(x^n)}^{1/n}=x.\]

Notons $f_{\frac{1}{n}}$ la fonction racine n-ième :
\[f_{\frac{1}{n}}(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}\text{ avec $n$ un entier naturel pair non nul}.\]

ActivitéÉtude de la fonction $f_{\frac{1}{n}}=x^{1/n}$ avec $n$ un entier naturel non nul pair
  1. Ensemble de définition
    $D=\R^+$.
  2. Etude des limites
    Nous avons immédiatement :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;{f_{\frac{1}{n}}}(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\;{f_{\frac{1}{n}}}(0)=f(0)=0.\]
  3. Étude des variations
    ${f_{\frac{1}{n}}}$ est dérivable sur $\R^{*+}$ et pour tout réel $x$ strictement positif, $f_{\frac{1}{n}}'(x)=\dfrac{1}{n}{x^{1/n-1}}$.
    Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f_{\frac{1}{n}}'(x)\gt 0$.
    Ainsi, ${f_{\frac{1}{n}}}$ est strictement croissante sur $\R^+$.Nous en déduisons le tableau de variation :\[\begin{array}{|c|lcr|}\hline x & 0 & & +\infty \\\hline {f_n}'(x) & & + \\\hline f_n(x) & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline \end{array}\]
  4. Cas particulier : la fonction racine carrée
    La fonction ${f_{\frac{1}{2}}}$ est la fonction racine carrée, définie par ${f_{\frac{1}{2}}}(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$ ; elle est définie sur $\R^+$ et dérivable sur $\R^{*+}$. Pour tout réel $x$ strictement positif,\[f_{\frac{1}{2}}'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\]En $0$, la fonction $f_{\frac{1}{2}}$ n’est pas dérivable mais le graphe de la fonction admet au point d’abscisse $0$ une demi-tangente verticale.
    En effet :\[\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{f_{\frac{1}{2}}(x)-f_{\frac{1}{2}}(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{\sqrt{x}-\sqrt{0}}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{\sqrt{x}}x=\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{1}{\sqrt{x}}=+\infty.\]
  5. Graphe
    Voir l'animation

Cas où $n$ est un entier naturel non nul impair.

Nous avons vu précédemment que la fonction $f_n$ définie par $f_n(x)=x^n$ est impaire et qu’elle réalise une bijection de $\R$ dans $\R$. Nous allons ici étudier ici sa bijection réciproque.

Définition

Soit $n$ un entier naturel impair. La fonction puissance n-ième est une bijection de $\R$ dans $\R$.

Sa bijection réciproque définie de $\R$ dans $\R$ est par définition la fonction racine n-ième et nous noterons racine n-ième de $x$ par $\sqrt[n]{x}$.

Ainsi, nous avons la propriété :

Propriété

Pour tout réel $x$,\[{\bigl(\sqrt[n]{x}\bigr)}^n=x\quad\text{et}\quad\sqrt[n]x^n=x.\]

Par analogie avec les propriétés algébriques des fonctions puissance n-ième avec $n$ entier naturel non nul Pour tous entiers naturels non nuls $n$ et $m$, ${{(x^n)}^m}={x^{nm}}$, nous noterons indifféremment la fonction racine n-ième $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{1/n}$.

Ainsi, la propriété précédente devient :

Propriété

Pour tout réel $x$,\[{\left({x^{1/n}}\right)}^n=x\quad\text{et}\quad{(x^n)}^{1/n}=x.\]

Notons ${f_{\frac{1}{n}}}$ la fonction racine n-ième : ${f_{\frac{1}{n}}}(x)=\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$, avec $n$ un entier naturel impair.

ActivitéEtude de la fonction $f_{\frac{1}{n}}=x^{1/n}$ avec $n$ un entier naturel impair
  1. Ensemble de définition
    $D=\R$.
  2. Etude de la parité
    $f_{\frac{1}{n}}$ est impaire. Nous l’étudierons donc dans un premier temps sur $\R^+$ et nous en déduirons les propriétés sur $\R$ grâce à la parité de la fonction.
  3. Étude des limites
    Nous avons immédiatement :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;{f_{\frac{1}{n}}}(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\;{f_{\frac{1}{n}}}(0)=f(0)=0.\]
  4. Étude des variations
    ${f_{\frac{1}{n}}}$ est dérivable sur ${\R^*}$ (Lien vers le module dérivation) et pour tout réel $x$, $f_{\frac{1}{n}}'(x)=\dfrac{1}{n}{x^{1/n-1}}$.
    Donc, pour tout réel strictement positif $x$, $f_{\frac{1}{n}}'(x)\gt 0$. Ainsi, ${f_{\frac{1}{n}}}$ est strictement croissante sur $\R^+$.
    Nous en déduisons le tableau de variation :
    \[\begin{array}{|c|lcccr|}\hline x & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline {f_n}'(x) & & + & || & + & \\\hline f_n(x) & -\infty & \quad\nearrow\quad & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline \end{array}\]
  5. Cas particulier de la fonction racine cubique
    La fonction ${f_{\frac{1}{3}}}$ est la fonction racine cubique, définie par $f_{\frac{1}{3}}(x)=\sqrt[3]x=x^{1/3}$ ; elle est définie sur $\R$ et dérivable sur ${\R^*}$.
    Pour tout réel $x$ non nul, $f_{\frac{1}{3}}'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’=\left(x^{1/3}\right)’=\dfrac{1}{3}{x^{-2/3}}=\dfrac{1}{3x^{2/3}}$.
    En $0$, la fonction $f_{\frac{1}{3}}$ n’est pas dérivable mais le graphe de la fonction admet au point d’abscisse $0$ une demi-tangente verticale.
    En effet :\[\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{{f_{\frac{1}{3}}}(x)-{f_{\frac{1}{3}}}(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{\sqrt[3]x-\sqrt[3]{0}}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{\sqrt[3]{x}}x &=\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{1}{x^{2/3}} \\&=\lim\limits_{x\to 0}\;\frac{1}{{\left(x^{1/3}\right)}^2}=+\infty.\end{align*}\]
  6. Graphe
    Voir l'animation

Cas où la puissance est un rationnel non nul

De manière plus générale, nous avons :

Définition
  • Pour $q$ entier relatif non nul pair et pour $p$ entier relatif, nous avons :Pour tout réel $x$ positif, \[x^{\frac{p}{q}}={\left({x^{\frac{1}{q}}}\right)}^p={(x^p)}^{\frac{1}{q}}.\]
  • Pour $q$ entier relatif impair et pour $p$ entier relatif, nous avons our tout réel $x$ :\[x^{\frac{p}{q}}={\left({x^{\frac{1}{q}}}\right)}^p={(x^p)}^{\frac{1}{q}p}.\]
Voir l'animation

Nous avons les résultats suivants :

Propriété
  1. Pour tout réel $x$ positif, pour tous rationnels $n$ et $m$ non nuls et de somme non nulle,\[x^{n+m}=x^nx^m.\]
  2. Pour tout réel $x$ positif, pour tous rationnels $n$ et $m$ non nuls,\[{(x^n)}^m=x^{nm}.\]

Ces formules peuvent être étendues au cas où $x$ est un réel quelconque (positif ou négatif) à condition que les termes de l’égalité soient définis…à prendre avec précaution… voir les exemples suivants :

  • $-3={(-3)}^1={(-3)}^{1/2+1/2}={(-3)}^{1/2}{(-3)}^{1/2}$, cette dernière quantité n’est pas définie !
  • $-3={(-3)}^1={(-3)}^{1/3+2/3}={(-3)}^{1/3}{(-3)}^{2/3}$, pas de problème.
  • $-1={(-1)}^1={(-1)}^{2\cdot 1/2}={\left({(-1)}^2\right)}^{1/2}=1^{1/2}=1$, où est l’erreur ?