Chapitre 12Suites de réels

ExercicesNiveau 2

Exercice

On définit la suite ${(u_n)}_n$ par :

  • son terme initial $u_0=1$ ;
  • la relation de récurrence : $\displaystyle u_{n+1}=\frac{u_n+8}{2u_n+1}$.
  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$.
  2. Soit la fonction $h$ définie sur $\displaystyle \left]-\frac{1}{2};+\infty\right[$ par $\displaystyle h(x)=\frac{x+8}{2x+1}$ et $H$ sa courbe représentative.
    1. Tracer $H$ et la droite $d$ d’équation $y=x$ dans un repère orthonormal $\left(O;\vec{i};\vec{j}\right)$ (unité graphique : 1 cm).
    2. Construire à l’aide de $H$ et de $d$ les points de l’axe $\left(O;\vec{i}\right)$ d’abscisses respectives $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$.
    3. Que peut-on prévoir quant à la convergence de la suite ${(u_n)}_n$ ?
  3. ${(v_n)}_n$ est la suite définie pour tout $n$ par : $\displaystyle v_n=\frac{u_n-2}{u_n+2}$.
    1. Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$.
    2. Montrer que ${(v_n)}_n$ est une suite géométrique que l’on caractérisera.
    3. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite ${(u_n)}_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

(Sujet d’après baccalauréat)

  1. $\displaystyle u_1=3$ ; $\displaystyle u_2=\frac{11}{7}$ ; $\displaystyle u_3=\frac{67}{29}$.
  2. On peut prévoir que la suite ${(u_n)}_n$ va converger vers le réel $l$ solution positive de l’équation « $f(x)=x$ », c’est-à-dire vers $2$.
    1. $\displaystyle v_0=-\frac{1}{3}$ ; $\displaystyle v_1=\frac{1}{5}$ et $\displaystyle v_2=-\frac{3}{25}$.
    2. Calculons le rapport $\displaystyle \frac{v_{n+1}}{v_n}$.
      \[\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+2}\frac{u_n+2}{u_n-2}=\frac{-3u_n+6}{5u_n+10}\frac{u_n+2}{u_n-2}=-\frac{3}{5}.\]Nous en déduisons que la suite ${(v_n)}_n$ est une suite géométrique de premier terme $\displaystyle v_0=-\frac{1}{3}$ et de raison $q=-\frac{3}{5}$.
    3. Nous avons donc : $\displaystyle \forall n\in\mathbb{N},\ v_n=-\frac{1}{3}{\left(-\frac{3}{5}\right)}^n$. Ainsi, la suite ${(v_n)}_n$ tend vers $0$ et donc grâce à la relation $\displaystyle v_n=\frac{u_n-2}{u_n+2}$, nous en déduisons que la suite ${(u_n)}_n$ tend vers $2$.
Exercice

Lors d’un achat, le 1er janvier 1992, deux plantes, un ficus et un cactus, mesuraient respectivement 0,50m et 1,50m. On notera $u_n$ et $v_n$ les hauteurs respectives en mètres de ces deux plantes au 1er janvier de l’année ($1992+n$). La hauteur du ficus augmente de 20% par an, alors que celle du cactus n’augmente que de 4% par an.

  1. Calculer $u_1$, $u_2$, $v_1$, $v_2$ au centimètre près.
  2. Etudier une relation entre $u_n$ et $u_{n+1}$, puis entre $v_n$ et $v_{n+1}$. En déduire les expressions de $u_n$ et $v_n$ en fonction de $n$.
  3. Au cours de quelle année le ficus aura-t-il atteint le plafond, à 2,5m du sol ?
  4. Laquelle de ces deux plantes atteindra la première le plafond ?

(Sujet d’après baccalauréat)

  1. $u_1=0,60$ ; $u_2=0,72$ ; $v_1=1,56$ et $v_2=1,62$.
  2. $u_{n+1}=1,20u_n$ et $v_n+1=1,04v_n$. Nous avons les formules :
    \[u_n={1{,}20}^{n}u_0={1{,}20}^{n}\times 0{,}5=\frac{1}{2}{(1{,}20)}^n,\]\[$u_n={1{,}04}^{n}v_0={1{,}04}^{n}\times 1{,}5=\frac{3}{2}{(1{,}04)}^n.\]
  3. Nous avons à résoudre l’équation : $u_n=2{,}5$.
    Nous obtenons $n\simeq 8{,}8$. Donc, au cours de sa huitième année, le ficus atteindra le plafond.
  4. Procédons de même pour le cactus ; résolvons l’équation, $v_n=2{,}5$.
    Nous obtenons $n\simeq 13{,}02$. Donc, au cours de sa treizième année, le cactus atteindra le plafond.
    Le ficus atteint donc le plafond avant le cactus.
Exercice
  1. Le 1er janvier 1990, le prix d’un objet est $P_0$. L’inflation est de $3$ % par an à partir de 1990.
    Calculer le prix $P_1$ de cet objet au bout d’un an, $P_2$ au bout de deux ans, $P_n$ au bout de $n$ années.
  2. Au bout de combien d’années le prix de l’objet aura-t-il été multiplié par deux ? Le temps nécessaire dépend-il du prix de départ $P_0$ ?
  3. Dans cette question, on suppose que l’inflation est de $3$% une année, $-3$ % la suivante (il y a désinflation), le cycle se reproduisant par période de deux ans ($3$ % en 1990, $-3%$ en 1991, $3$ % en 1992, $-3$ % en 1993, etc).
    Quel est le prix de l’objet en fonction de $P_0$ au bout de 2 ans ? au bout de quatre ans ? Calculer le prix $P_{2n}$ au bout de $2n$ années.
    Montrer que $P_{2n}\lt P_0$. Aurait-on $P_{2n}\lt P_0$ si les taux d’inflation et de désinflation étaient respectivement $i$ % et $-i$ % ($0 \lt i \lt 100$) ?
    Calculer $P_{2n+1}$ pour $i=3$.

(Sujet d’après baccalauréat)

  1. $P_1=1{,}03\times P_0$, $P_2=1{,}03^2\times P_0$ et $P_n=1{,}03^n\times P_0$.
  2. Nous résolvons l’équation $P_n=2P_0$ et nous obtenons :\[n=\frac{\ln (2)}{\ln (1{,}03)}\simeq 23{,}4\]Lors de la 23ième année, le prix est multiplié par $2$. Ce temps ne dépend pas du prix de départ $P_0$.
  3. $P_2=1{,}03\times 0{,}97\times P_0$, $P_4={\left(1{,}03\times 0{,}97\right)}^2\times P_0$, $P_{2n}={\left(1,03\times 0,97\right)}^n\times P_0$.
    Comme $\left(1{,}03\times 0{,}97\right)=0{,}9991\lt 1$, nous en déduisons que : $P_{2n}\lt P_0$.
    Si le taux d’inflation est de $i$ %, nous obtenons : $\displaystyle P_{2n}={\left(\left(1+\frac{i}{100}\right)\times \left(1-\frac{i}{100}\right)\right)}^{n}\times P_0$.
    Or, $\displaystyle \left(\left(1+\frac{i}{100}\right)\times \left(1-\frac{i}{100}\right)\right)=1-{\left(\frac{i}{100}\right)}^2\lt 1$.
    Donc, nous obtenons de nouveau $P_{2n}\lt P_0$.
    $P_{2n+1}=1{,}0\times 3P_{2n}=1{,}03\times {(1{,}03\times 0{,}97)}^n\times P_0$.
Exercice

Une personne loue une maison à partir du 1er janvier 1991. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de $24000$F et le locataire s’engage à occuper la maison pendant neuf années complètes.

  1. Contrat n° 1.
    Le locataire accepte une augmentation annuelle de $5$% du loyer de l’année précédente.
    1. Calculer le loyer $u_1$ payé lors de la deuxième année.
    2. Exprimer $u_n$ (loyer payé lors de la $(n+1)$ième année) en fonction de $n$.
    3. Calculer la somme payée à l’issue des neuf années de contrat.
  2. Contrat n° 2.
    Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de $1500$F du loyer de l’année précédente.
    1. Calculer le loyer $v_1$ payé lors de la 2e année.
    2. Exprimer $v_n$ (loyer payé lors de la $(n+1)$ième année) en fonction de $n$.
    3. Calculer la somme payée à l’issue des neuf années du contrat. Quel est le contrat le plus avantageux pour le locataire ?

(Sujet d’après baccalauréat)

    1. $u_1=1{,}05\times 24000=25200$.
    2. $u_n={1{,}05}^n\times 24000$.
    3. La somme payée à l’issue des neuf années de contrat est : $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{8}u_i$ avec $u_0=24000$.
      Comme la suite ${(u_n)}_n$ est une suite géométrique de premier terme $24000$ et de raison $1,03$, nous obtenons :\[\sum\limits_{i=0}^{8}{u_i}=24000\frac{1-{1{,}05}^9}{1-1{,}05}=264637.\]Pour le contrat 1, le locataire aura versé au bout de 9 ans : $264637$F.
    1. $v_1=24000+1500=25500$.
    2. $v_n=24000+1500n$.
    3. La somme payée à l’issue des neuf années de contrat est : $\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{8}v_i$ avec $v_0=24000$.
      Comme la suite ${(v_n)}_n$ est une suite arithmétique de premier terme $24000$ et de raison $1500$, nous obtenons :\[\sum\limits_{i=0}^{8}v_i=9\times 24000+1500\frac{9\times 8}{2}=270000.\]Pour le contrat 2, le locataire aura versé au bout de 9 ans : $270000$F.
      Le contrat 1 est donc le plus avantageux pour le locataire.
Exercice

On considère la suite numérique u définie par :

\[\text{Pour tout entier naturel $n$, }u_0=1\text{ et }u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+n-1\]

Soit $v$ la suite définie par :

\[\text{Pour tout entier naturel $n$, }v_n=4u_n-6n+15\]
  1. Montrer que $v$ est une suite géométrique.
  2. Calculer $v_0$ puis calculer $v_n$ en fonction de $n$.
    En déduire que pour tout entier naturel $n$ :\[u_n=\frac{19}{4}\times\frac{1}{3^n}+\frac{6n-15}{4}\]
  3. Montrer que la suite $u$ peut s’écrire sous la forme $u=t+w$ où $t$ est une suite géométrique et $w$ une suite arithmétique.
  4. Calculer $T_n=t_0+t_1+\dotsb+t_n$ et $W_n=w_0+w_1+\dotsb+w_n$.
    En déduire $U_n=u_0+u_1+\dotsb+u_n$.

(Sujet d’après baccalauréat)

  1. Déterminons le rapport $\displaystyle\frac{v_{n+1}}{v_n}$.\[\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{4\left(\dfrac{1}{3}u_n+n-1\right)-6(n+1)+15}{4u_n-6n+15}=\frac{\dfrac{4}{3}u_n-2n+5}{4u_n-6n+15}=\frac{1}{3}.\]Donc, la suite $v$ est une suite géométrique de premier terme $v_0=19$ et de raison $\frac{1}{3}$.
  2. $v_0=19$ et $\displaystyle v_n=19{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ pour tout entier naturel $n$.
    Nous avons $\displaystyle u_n=\frac{v_n+6n-15}{4}$ d’où le résultat :\[\text{Pour tout entier naturel $n$, }u_n=\frac{19}{4}\times\frac{1}{3^n}+\frac{6n-15}{4}\]
  3. Soit $t$ la suite géométrique de premier terme $\displaystyle\frac{19}{4}$ et de raison $\displaystyle\frac{1}{3}$ et soit $w$ la suite arithmétique de premier terme $\displaystyle-\frac{15}{4}$ et de raison $\displaystyle\frac{6}{4}\left(=\frac{3}{2}\right)$.
    Alors, nous avons : $u=t+w$.
  4. Nous avons :\[T_n=t_0+t_1+\dotsb+t_n=\frac{19}{4}\frac{1-{{\left(\dfrac{1}{3}\right)}^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{3}}=\frac{57}{8}\left(1-{{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}\right)\]et\[W_n=w_0+w_1+\dotsb+w_n=(n+1)\left(-\frac{15}{4}\right)+\frac{3}{2}\frac{n(n+1)}{2}.\]Ainsi,\begin{align*}U_n&=u_0+u_1+\dotsb+u_n=T_n+W_n \\&=\frac{57}{8}\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\right)+(n+1)\left(-\frac{15}{4}\right)+\frac{3}{2}\frac{n(n+1)}{2}.\end{align*}
Exercice

Soit la suite numérique de terme général $u_n$, $n\in\mathbb{N}^{*}$, définie par :$\displaystyle\begin{cases} u_1&=&\frac{1}{2} \\ u_{n+1}&=&\frac{n+1}{2n}u_n.\end{cases}$

  1. Calculer $u_2$, $u_3$, $u_4$.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a : $0\le u_{n+1} \le u_n$. En déduire que la suite ${(u_n)}_n$ converge.
  3. Montrer que la suite de terme général $v_n$ définie par : $\displaystyle v_n=\frac{u_n}{n}$ ($n \gt 0$) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme $v_1$.
    En déduire $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n$. En déduire également l’expression de $u_n$ en fonction de $n$. Calculer $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n$.

(Sujet d’après baccalauréat)

  1. $\displaystyle u_2=\frac{1}{2}$ ; $\displaystyle u_3=\frac{3}{8}$ ; $\displaystyle u_4=\frac{1}{4}$.
  2. Une récurrence immédiate nous donne :\[\text{Pour tout entier naturel non nul, on a : }0 \le u_{n+1}.\]En remarquant que pour tout entier naturel non nul, $\displaystyle \frac{n+1}{2n}\le 1$, nous obtenons :\[\text{Pour tout entier naturel non nul, on a : }0 \le u_{n+1} \le u_n.\]Ainsi, la suite ${(u_n)}_n$ est une suite décroissante, minorée (par $0$). Donc, la suite ${(u_n)}_n$ converge.
  3. Déterminons le rapport $\displaystyle\frac{v_{n+1}}{v_n}$.
    \[\frac{v_{n+1}}{v_n}=\frac{\dfrac{u_{n+1}}{n+1}}{\dfrac{u_n}{n}}=\frac{\cfrac{\cfrac{n+1}{2n}u_n}{n+1}}{\dfrac{u_n}{n}}=\frac{1}{2}.\]Donc, la suite ${(v_n)}_n$ est une suite géométrique de premier terme $v_1=\displaystyle\frac{1}{2}$ et de raison $\displaystyle\frac{1}{2}$.
    Donc, pour tout entier naturel non nul, $v_n=\displaystyle{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$. Nous en déduisons : $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=0$.
    De plus, $\displaystyle u_n=n\times v_n=n{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.
    A l’aide des règles sur les croissances comparées, nous avons : $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=0$.