Soit $f_1$ la fonction numérique de la variable réelle $x$, définie sur $\R^-$ par\[f_1(x)=x-\sqrt[3]{3x},\]et soit $f_2$ la fonction numérique de la variable réelle $x$, définie sur $\R^+$ par\[f_2(x)=x+\sqrt[3]{3x}.\]
- Etudier les fonctions $f_1$ et $f_2$.
- Tracer leurs courbes représentatives $C_1$ et $C_2$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé $\left(0,\vec{i},\vec{j}\right)$. On précisera en particulier les tangentes à $C_1$ et $C_2$ au point $O$.
Sujet d’après le baccalauréat.
- Etude de $f_1$
- Domaine de définition
$\R^-$- Etude des limites
$\lim\limits_{x\to -\infty}\;f_1(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}\;\left(x-\sqrt[3]{3x}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\;x\left(1-\dfrac{\sqrt[3]{3}}{x^{2/3}}\right)=-\infty$.$\lim\limits_{x\to 0}\;f_1(x)=f_1(0)=0.$- Etude des variations
$f_1$ est dérivable sur $\R^{-*}$ et pour tout réel $x$ strictement négatif, $f_1′(x)=1-\dfrac{\sqrt[3]{3}}{3x^{2/3}}$.
La dérivé s’annulant en $-\dfrac{1}{3}$ et $f(x)=\dfrac{1}{3}$, on en déduit le tableau de variation suivant :\[\begin{array}{|c|lcccr|}\hlinex & -\infty & & -1/3 & & 0 \\\hlinef_1′(x) & & + & 0 & – \\\hlinef_1(x) & -\infty & \quad\nearrow\quad & 1/3 & \quad\searrow\quad & 0 \\\hline\end{array}\]- Tangente en $0$
Etudions la dérivabilité en 0 :
\[\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^-}\;\frac{f_1(x)-{f_1}(0)}{x-0} &=\lim\limits_{x\to 0^-}\;\frac{x-\sqrt[3]{3x}-0}{x-0} \\&=\lim\limits_{x\to 0^-}\;\frac{x-\sqrt[3]{3x}}x=1-\lim\limits_{x\to 0^-}\;\frac{\sqrt[3]{3}}{x^{2/3}} =-\infty. \\\end{align*}\]Donc, le graphe de $f_1$ admet au point d’abscisse $0$ une demi-tangente verticale.- Etude de $f_2$
- Domaine de définition
$\R^+$- Etude des limites
$\lim\limits_{x\to +\infty}\;f_2(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\;\left(x+\sqrt[3]{3x}\right)=+\infty.$
$\lim\limits_{x\to 0}\;f_2(x)=f_2(0)=0.$- Etude des variations
$f_2$ est dérivable sur $\R^{+*}$ et pour tout réel $x$ strictement positif, $f_2′(x)=1+\dfrac{\sqrt[3]{3}}{3x^{2/3}}$.
La dérivé s’annulant en $-\dfrac{1}{3}$ et $f(x)=\dfrac{1}{3}$, on en déduit le tableau de variation suivant :\[\begin{array}{|c|lcr|}\hlinex & 0 & & +\infty \\\hlinef_2′(x) & & + \\\hlinef_2(x) & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline\end{array}\]- Tangente en $0$
Etudions la dérivabilité en 0 :
\[\begin{align*}\lim\limits_{x\to 0^0}\;\frac{f_2(x)-{f_2}(0)}{x-0}&=\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{x+\sqrt[3]{3x}-0}{x-0} \\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{x+\sqrt[3]{3x}}x \\&=1+\lim\limits_{x\to 0^+}\;\frac{\sqrt[3]{3}}{x^{2/3}} \\&=+\infty.\end{align*}\]Donc, le graphe de $f_2$ admet au point d’abscisse $0$ une demi-tangente verticale.Graphe en cours de réalisation.
En vous aidant de l’étude de la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(x)-\sqrt{x}$, montrer que :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;\frac{\ln(x)}{x}=0.\]
Cette fonction est définie et dérivable sur ${]0,+\infty[}$.
Pour tout réel strictement positif $x$, on a : $f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2-\sqrt{x}}{2x}$.\[f'(x)\gt 0\iff\sqrt{x}\lt 2 \iff x\lt 4.\]D’où le tableau de variation de cette fonction :\[\begin{array}{|c|c|llcrr|}\hlinex &\!\!\!\!& 0 & \qquad & 4 & \qquad & +\infty \\\hlinef'(x) &\!\!\!\!& & + & 0 & – \\\hlinef(x) &\!\!\!\!& & \nearrow & \alpha & \searrow \\\hline\end{array}\]$\alpha=f(4)=\ln 4-\sqrt{4}\approx-0,6$.
La fonction passe par un maximum au point $x=4$, et ce maximum est négatif.
On en déduit, que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x)\lt 0$.
Cela équivaut à :\[\forall x\in\R,\;\ln(x)\sqrt{x}.\]En particulier :\[\forall x\gt 1,\;0\lt\ln(x)\lt\sqrt{x}.\]En divisant les différents membres par $x$, on obtient :\[\forall x\gt 1,\;0\lt\frac{\ln(x)}{x}\lt\frac{\sqrt{x}}{x}.\]Soit :\[\forall x\gt 1,\;0\lt\frac{\ln(x)}{x}\lt\frac{1}{\sqrt{x}}.\]En faisant tendre $x$ vers ($+\infty$) et grâce à $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\frac{1}{\sqrt{x}}=0$, on obtient, par encadrement, le résultat annoncé :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;\frac{\ln(x)}x=0.\]