Les nombres suivants $2\,364\,510$, $3\,475\,621$ et $4\,586\,732$ peuvent-ils être considérés comme des termes consécutifs d’une suite arithmétique ?
$4586732-3475621=1111111$
$3475621-2364510=1111111$
Ces trois nombres peuvent donc être considérés comme des termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison $r=1111111$.
Soit ${(u_n)}_n$ une suite arithmétique telle que $u_0=-6$ et $r=4$.
Calculer $u_7$, $u_{12}$ et $u_{20}$.
$u_7=22$ ; $u_{12}=42$ et $u_{20}=74$.
Soit ${(u_n)}_n$ une suite arithmétique telle que $r=0{,}75$ et $u_{22}=15$.
Expliciter le terme général $u_n$.
On déduit $u_0=-1,5$ puis $u_n=-1{,}5+0{,}75n$.
Soit ${(u_n)}_n$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ telle que $u_{10}=10$ et $u_{1000}=10000$.
Calculer la somme $S_{100}$ des $100$ premiers termes de la suite.
On commence par calculer les caractéristiques de cette suite.
On obtient $\displaystyle u_0=-\frac{1000}{11}$ et $\displaystyle r=\frac{111}{11}$. On déduit $\displaystyle S_{100}=\frac{449450}{11}$.
On pose $\displaystyle S=\frac{1}{3}+1+\frac{5}{3}+\frac{7}{3}+3+\dotsb+\frac{19}{3}+7=\sum\limits_{k=0}^{10}\frac{2k+1}{3}$.
Calculer $S$ après avoir constaté que $S$ est la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique.
On commence par calculer les caractéristiques de cette suite.
On obtient $\displaystyle u_0=\frac{1}{3}$ et $\displaystyle r=\frac{2}{3}$. Ensuite, on montre que $u_{10}=7$. On veut donc calculer $S_{11}$.
Finalement : $\displaystyle S=S_{11}=\frac{121}{3}$.
Les nombres suivants $346834$ ; $3434$ ; $34$ peuvent-ils être considérés comme des termes consécutifs d’une suite géométrique ?
Faisons les rapports : $\displaystyle \frac{34}{3434}=\frac{3434}{346834}=\frac{1}{101}$.
Ces trois nombres peuvent donc être considérés comme des termes consécutifs d’une suite géométrique de raison $\displaystyle q=\frac{1}{101}$.
Soit ${(u_n)}_n$ une suite géométrique telle que $u_3=5$ et $u_6=135$.
Calculer le premier terme $u_0$ ainsi que la raison de cette suite.
On obtient $u_0=\dfrac{5}{27}$ et $q=3$.
- On pose $S=18+54+162+486+1458+4374+13122+39366$.
Calculer $S$ après avoir vérifié que $S$ est la somme de termes consécutifs d’une suite géométrique. - Même travail avec $\displaystyle T=\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}+\frac{1}{128}-\frac{1}{256}+\frac{1}{512}-\frac{1}{1024}+\frac{1}{2048}-\frac{1}{4096}$.
- On montre tout d’abord que $S$ est une somme partielle de termes d’une suite géométrique de premier terme $u_0=18$ et de raison $q=3$.
On montre ensuite que $u_7=39366$. Donc $S=S_8=18\dfrac{{3^8}-1}{3-1}=59040$.- De même, on montrer que $T$ correspond à d’une suite géométrique de premier terme $\displaystyle u_0=\frac{1}{8}$ et de raison $q=-\frac{1}{2}$. Ensuite, on observe que $\displaystyle u_{10}=\frac{-1}{4096}$.
Finalement : $\displaystyle T=T_{11}=\frac{1}{8}\frac{1-\dfrac{1}{2^{11}}}{1+\dfrac{1}{2}}=\frac{1}{12}\left(1-\frac{1}{2^{11}}\right).$
Soit ${(u_n)}_n$ la suite définie par $\left\{\begin{align*}u_1&=\dfrac{1}{3} \\ u_{n+1}&=\dfrac{n+1}{3n}{u_n}\end{align*}\right.$
- Calculer les six premiers termes de cette suite. Est-elle géométrique ?
- Montrer que la suite de terme général $v_n=\dfrac{u_n}{n}$ est une suite géométrique.
- En déduire l’expression de $v_n$, puis celle de $u_n$, en fonction de $n$.
- $u_1=\dfrac{1}{3}$ ; $u_2=\dfrac{2}{9}$ ; $u_3=\dfrac{1}{9}$ ; $u_4=\dfrac{4}{81}$ ; $u_5=\dfrac{5}{243}$ et $u_6=\dfrac{2}{243}$.
${(u_n)}_n$ n’est pas une suite géométrique car le rapport de deux termes consécutifs n’est pas constant.- $\dfrac{v_n+1}{v_n}=\dfrac{1}{3}$ donc ${(v_n)}_n$ est une suite géométrique.
De plus son premier terme est $v_1=\dfrac{1}{3}$ et sa raison $q=\dfrac{1}{3}$.- On déduit $v_n=\dfrac{1}{3^n}$ puis $u_n=\dfrac{n}{3^n}$.
Soit ${(u_n)}_n$ la suite de terme général $u_n=2n^2-1$.
Exprimer en fonction de n : $u_{n-1}$ ; $u_{2n}$ ; $u_{2n+1}$ et $u_{n^2+1}$.
\begin{align*}u_{n-1}&=&2{(n-1)}^2-1=2n^2-4n+1 \\u_{2n}&=&2{(2n)}^2-1=8n^2-1 \\u_{2n+1}&=&2{(2n+1)}^2-1=8n^2+8n+1 \\u_{n^2+1}&=&2{({n^2}+1)}^2-1=2n^4+4n^2+1\end{align*}
Calculer les six premiers termes de la suite définie par les relations de récurrence suivantes :\begin{align*}&\text{a}\begin{cases}u_0&=&1 \\ u_{n+1}&=&3u_n+2\end{cases}&&\text{b}\begin{cases}u_0&=&0 \\ u_{n+1}&=&{(u_n)}^2+2\end{cases}\\\\&\text{c}\begin{cases}u_0&=&3 \\ u_{n+1}&=&\dfrac{6}{u_n} \end{cases}&&\text{d}\begin{cases}u_0&=&1 \\ u_{n+1}&=&\dfrac{2}{{(u_n)}^2+1}\end{cases}\end{align*}
$u_0$ $u_1$ $u_2$ $u_3$ $u_4$ $u_5$ $a$ $1$ $5$ $17$ $53$ $161$ $485$ $b$ $0$ $2$ $6$ $38$ $1446$ $2090918$ $c$ $3$ $2$ $3$ $2$ $3$ $2$ $d$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$ $1$
On considère les suites ${(u_n)}_n$ et ${(v_n)}_n$ définies par :\[u_n=\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}\text{ pour tout entier naturel non nul}\]Prouver que ces deux suites sont adjacentes, puis calculer leur limite commune.
\[u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)!}.\]La suite ${(u_n)}_n$ est donc croissante.
\[v_{n+1}-v_n=\frac{-1}{n(n+1)(n+1)!}.\]La suite ${(v_n)}_n$ est donc décroissante.
\[v_n-u_n=\frac{1}{n\times n!}.\]Donc $\lim\limits_{n\to+\infty} (v_n-u_n)=0$.
Conclusion : Ces deux suites sont adjacentes. Elles convergent donc toutes les deux et elles ont la même limite. Vous montrerez plus tard que cette limite est égale au nombre $e$, base du logarithme népérien.
On note $(u_n)$ la suite de terme général $\displaystyle u_n=3+\frac{\sqrt{n}}{n+{(-1)}^{n}}$ pour $n\ge 2$.
- Etablir la double inégalité suivante : $\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{n+1}\le u_n-3\le \frac{\sqrt{n}}{n-1}$.
- Déterminer les limites des suites de termes généraux $\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{n+1}$ et $\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{n-1}$.
- En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
- $\displaystyle u_n-3=\frac{\sqrt{n}}{n+{(-1)}^{n}}$ et $n-1\le n+{(-1)}^n\le n+1$ d’où le résultat annoncé.
- $\displaystyle \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{\sqrt{n}}{n-1}\right) =\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}}\right)=0$.
- Par encadrement, on en déduit que : $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(u_n-3\right)=0$, et donc $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=3$.