Chapitre 11Fonctions de référence

Soit $n$ un entier naturel non nul.
La fonction « puissance $n$ » est la fonction qui à $x$ associe $x^n=\underbrace{x.x…x}_\text{$n$ fois}$.

Notons $f_n$ cette fonction : $f_n(x)=x^n$ avec $n$ un entier naturel non nul.

1. Pour tous $n$ et $m$ entiers naturels non nuls,\[x^{n+m}=x^nx^m.\]
2. Pour tous $n$ et $m$ entiers naturels non nuls,\[{(x^n)}^m=x^{nm}\]

1. Ensemble de définition
   $D=\R$.
2. Etude de la parité
   Si $n$ est pair, $f_n$ est paire et si $n$ est impair, $f_n$ est impaire.
   Ainsi, il suffit d’étudier $f_n$ sur $\R^+$, et en utilisant le fait que $f_n$ est paire ou impaire, nous en déduirons l’étude sur $\R$.
3. Etude des limites
   Nous avons immédiatement :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;{f_n}(x)=+\infty\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0}\;{f_n}(x)=f(0)=0.\]
4. Etude des variations
   $f_n$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$, ${f_n}'(x)=n{x^{n-1}}$. Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, ${f_n}'(x)\gt 0$ et ${f_n}'(0)=0$. Ainsi, $f_n$ est strictement croissante sur $\R^+$.
   Comme $f_n$ est continue (par exemple, car elle est dérivable) sur $\R$, en tenant compte de la parité de $n$, nous obtenons le résultat suivant :.
   Pour $n$ entier naturel non nul pair, la fonction $f_n$ définie par $f_n(x)=x^n$ est une bijection de $\R^+$ dans $\R^+$.
   Pour $n$ entier naturel impair, la fonction $f_n$ définie par $f_n(x)=x^n$ est une bijection de $\R$ dans $\R$.
   Nous en déduisons le tableau de variation :
   • Si $n$ est pair.\[\begin{array}{|c|lcccr|}\hlinex & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline{f_n}'(x) & & – & 0 & + & \\\hlinef_n(x) & +\infty & \quad\searrow\quad & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline\end{array}\]
   • Si $n$ est impair.\[\begin{array}{|c|lcccr|}\hlinex & -\infty & & 0 & & +\infty \\\hline{f_n}'(x) & & + & 0 & + & \\\hlinef_n(x) & -\infty & \quad\nearrow\quad & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty \\\hline\end{array}\]
5. Graphe
   Voir l'animation

Soit $n$ un entier naturel non nul.
La fonction « puissance ($-n$) » est la fonction qui à $x$ associe $\dfrac{1}{x^n}=\dfrac{1}{\underbrace{x\cdot x\dotsm x}_\text{$n$ fois}}$.

Notons $f_{-n}$ cette fonction : $f_{-n}(x)=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n$ un entier naturel non nul.

1. Pour tout $n$ et $m$ entiers non nuls,\[x^{n+m}=x^nx^m.\]
2. Pour tout $n$ et $m$ entiers non nuls,\[{(x^n)}^m=x^{nm}.\]

1. Ensemble de définition
   $D=\R^*$
2. Etude de la parité
   Si $n$ est pair, $f_{-n}$ est paire et si $n$ est impair, $f_{-n}$ est impaire.
   Ainsi, il suffit d’étudier $f_{-n}$ sur $\R^{*+}$, et en utilisant le fait que $f_{-n}$ est paire ou impaire, nous en séduirons l’étude sur $\R^*$.
3. Etude des limites
   Nous avons immédiatement :\[\lim\limits_{x\to +\infty}\;f_{-n}(x)=0\quad\text{et}\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\;f_{-n}(x)=+\infty.\]Ainsi, l’axe des abscisses (d’équation « $y=0$ ») est asymptote au graphe de $f_{-n}$ en $+\infty$ et l’axe des ordonnées (d’équation « $x=0$ ») est asymptote au graphe de $f_{-n}$.
4. Etude des variations
   $f_{-n}$ est dérivable sur $\R^*$ et pour tout réel $x$ non nul, $f_{-n}'(x)=-nx^{-n-1}$.Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f_{-n}'(x)\lt 0$.Ainsi, $f_{-n}$ est strictement décroissante sur $\R^+$.Nous en déduisons les tableaux de variation en fonction de la parité de $n$ :
   • Si $n$ est pair.\[\begin{array}{|c|lcr|c|lcr|}\hlinex & -\infty & & 0^- &\!\!\!\! & 0^+ & & +\infty \\\hline{f_n}'(x) & & + & &\!\!\!\! & & – & \\\hlinef_n(x) & 0 & \quad\nearrow\quad & +\infty &\!\!\!\! & +\infty & \quad\searrow\quad & 0 \\\hline\end{array}\]
   • Si $n$ est impair.\[\begin{array}{|c|lcr|c|lcr|}\hlinex & -\infty & & 0^- &\!\!\!\! & 0^+ & & +\infty \\\hline{f_n}'(x) & & – & &\!\!\!\! & & – & \\\hlinef_n(x) & 0 & \quad\searrow\quad & -\infty &\!\!\!\! & +\infty & \quad\searrow\quad & 0 \\\hline\end{array}\]
5. Graphe
   Voir l'animation