Définition
La fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$est continue sur l’intervalle ${]0,+\infty[}$. Elle admet donc, sur cet intervalle, une primitive, et une seule qui s’annule en $1$.
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive sur ${]0,+\infty[}$ de la fonction inverse $x\mapsto \dfrac{1}{x}$, qui s’annule en $1$.
- On a donc $\ln(1)=0$.
- On peut donner une définition de la fonction $\ln$ à l’aide d’une intégrale en posant, pour tout réel strictement positif :\[\ln(x)=\int_1^x{\frac{\mathrm{d}t}{t}}.\]
- La fonction $\ln$, logarithme népérien, est aussi appelée logarithme naturel.
On déduit de cette définition le résultat suivant :
La fonction $\ln$ est définie et dérivable sur ${]0,+\infty[}$ et pour tout réel $x$ strictement positif,\[(\ln)'(x)=\frac{1}{x}.\]
Ce théorème découle immédiatement de la définition de la fonction $\ln$, puisque qu’elle est une primitive de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.
On en déduit donc :\[\forall x\in\R^{*+},\;(\ln)'(x)\gt 0.\]La fonction $\ln$ est donc strictement croissante sur ${]0,+\infty[}$.
Ceci permet de déduire la propriété suivante :
$x$ et $y$ étant deux réels strictement positifs, nous avons les équivalences suivantes :\[\ln(x)=\ln(y)\iff x=y\quad\text{et}\quad\ln(x)\lt \ln(y)\iff x\lt y.\]
En particulier, $x$ étant un réel strictement positif, nous avons les équivalences suivantes :\[\begin{align*}\ln(x)=0 \iff x=1, \\\ln(x)\lt 0 \iff x\lt 1, \\\ln(x)\gt 0 \iff x\gt 1.\end{align*}\]
Résoudre dans $\R$ l’équation : $\ln\left(x^2+5x-5\right)=0$.
Cela revient à résoudre ${x^2}+5x-5=1$ soit ${x^2}+5x-6=0$.
Cette équation admet une solution évidente $x=1$, l’autre solution est égale à $x=-6$.
Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation est $\{1,-6\}$.
Propriété fondamentale
Pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$ :\[\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).\]
Soit $y$ un réel strictement positif fixé.
Définissons les fonctions $g$ et $h$ en posant, pour tout réel $x$ strictement positif : \[g(x)=\ln(xy)\quad\text{et}\quad h(x)=\ln(x)+\ln(y).\]Ces deux fonctions sont dérivables sur ${]0,+\infty[}$, et on a \[g'(x)=\frac{y}{xy}=\frac{1}{x}\quad\text{et}\quad h'(x)=\frac{1}{x}.\]Cela signifie que les fonctions $g$ et $h$ sont deux primitives sur ${]0,+\infty[}$ de la fonction inverse qui à $x$ associe $\dfrac{1}{x}$. Elles diffèrent donc d’une constante additive, c’est à dire qu’il existe un réel $k$ tel que :\[\forall x\in\R^{*+},\;g(x)=h(x)+k.\]En prenant $x=1$, nous obtenons : $g(1)=h(1)+k$. Or $g(1)=h(1)=\ln(y)$ donc $k=0$.
Nous avons donc établi, que pour tout réel strictement positif $x$, on a : \[\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).\]
Le logarithme d’un produit est donc égal à la somme des logarithmes. On dit que la fonction $\ln$ transforme les produits en sommes.
Ce théorème a de nombreuses conséquences :
- $x$ et $y$ étant deux réels strictement positifs,\[\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln(x)-\ln(y).\]En particulier :\[\ln\left(\frac{1}{y}\right)=-\ln(y).\]
- $a_1,a_2,\dots,a_n$ étant des réels strictement positifs :\[\ln\left(a_1\cdot a_2\dotsm a_n\right)=\ln(a_1)+\ln(a_2)+\dotsb+\ln(a_n).\]
- Soient $a$ un réel strictement positif et $n$ un entier relatif :\[\ln\left({a^n}\right)=n\ln(a).\]
- Soit $a$ un réel strictement positif :\[\ln\left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2}\ln(a).\]
- $\ln(x)=\ln\left(\dfrac{x}{y}\cdot y\right)=\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)+\ln(y)$, d’où le résultat.
D’autre part : $\ln\left(\dfrac{1}{y}\right)=\ln(1)-\ln(y)=-\ln(y)$ car $\ln(1)=0$.- Elle se fait par récurrence sur l’entier $n$, en utilisant le résultat précédent.
- Résultat immédiat pour $n=0$ et $n=1$.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à $2$, on reprend le résultat précédent avec $n$ réels égaux au réel $a$.
Pour $n$ un entier strictement négatif, on pose $n=-m$.\[\ln(a^n)=\ln(a^{-m})=-\ln(a^m)=-m\ln(a)=n\ln(a).\]D’où le résultat.- $\ln(a)=\ln\left({{\sqrt{a}}^2}\right)=2\ln\left(\sqrt{a}\right)$ donc $\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln(a)$.
Résoudre dans $\R$ l’équation $\ln(3-x)+\ln 2-\ln(2x+1)=0$.
Le premier membre de cette équation existe si et seulement si on a simultanément $(3-x)\gt 0$ et $(2x+1)\gt 0$, ce qui se traduit par la condition $-\dfrac{1}{2}\lt x\lt 3$.
On dit que l’ensemble de définition de cette équation est égal à $D={\left]-\dfrac{1}{2},3\right[}$.
En transformant l’équation, on obtient l’équation équivalent suivante : \[\ln\left(\frac{2(3-x)}{2x+1}\right)=\ln(1).\]Cela équivaut donc à :\[\frac{2(3-x)}{2x+1}=1\quad\text{soit}\quad x=\frac{5}{4}.\]On vérifie que cette valeur appartient à $D$.
Ainsi, cette équation admet une unique solution qui est égale à $\dfrac{5}{4}$.