Chapitre 11Fonctions de référence

La fonction logarithme népérien, $\ln$, est continue et strictement croissante de ${]0,+\infty[}$ dans $\R$.
Elle réalise une bijection entre ces deux ensembles. Sa bijection réciproque est la fonction exponentielle de $\R$ dans ${]0,+\infty[}$, notée $\exp$.

Pour tout réel strictement positif $x$ et pour tout réel $y$ : $$y=\ln{x}\iff x=\exp{y}.$$

• Pour tout réel strictement positif $x$, $$\exp(\ln{x})=x.$$
• Pour tout réel positif $x$, $$\ln(\exp{x})=x.$$

Soient $x$ et $y$ deux réels. Alors : $$\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).$$

$a_1,a_2,\dotsc,a_n$ étant des réels quelconques, on a : $$\exp(a_1+a_2+\dotsb+a_n)=\exp(a_1)\cdot \exp(a_2)\dotsm\exp(a_n).$$

$x$ et $y$ étant deux réels quelconques, on a : $$\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}.$$ En particulier : $$\exp(-y)=\frac{1}{\exp(y)}.$$

$x$ étant un réel quelconque et $n$ un entier relatif, on a : $$\exp(nx)={(\exp x)}^n.$$

1. Nous savons que, pour tout entier relatif $n$, on a $\ln\left(\e^n\right)=n$.
   En utilisant la bijection réciproque, on obtient : $$\forall n\in\Z,\;\exp(n)=\e^n.$$
2. Soit $x$ un réel quelconque et $n$ un entier naturel non nul. $$e=\exp(1)=\exp\left(\frac{1}{n}\cdot n\right)={\left[\exp\left(\frac{1}{n}\right) \right]}^n.$$ On en déduit : $$\forall n\in\N,\;\exp\left(\frac{1}{n}\right)=\e^{1/n}.$$
3. Soit $r$ un rationnel. On sait que $r$ s’écrit sous la forme $\frac{p}{q}$, où $p$ est un entier relatif et $q$ un entier naturel non nul. $$\e^p=\exp(p)=\exp\left(\frac{p}{q}\cdot q\right)={\left[\exp\left(\frac{p}{q}\right) \right]}^q.$$ On en déduit : $$\exp(r)=\exp\left(\frac{p}{q}\right)={\left(\e^p\right)}^{1/q}=\e^{q/p}=\e^r.$$ Donc : $$\forall r\in\Q,\;\exp(r)=\e^r.$$

Pour tout réel $x$, on pose $\exp(x)=\e^x$.

1. Pour tout réel $x$ strictement positif et pour tout réel $y$ : $$y=\ln(x) \iff x=\e^y.$$
2. Pour tous réels $x$ et $y$ : $$\e^{x+y}=\e^x\e^y\quad\text{et}\quad e^{x-y}=\frac{\e^x}{\e^y}\quad\text{et}\quad \e^{-y}=\frac{1}{\e^y}.$$
3. $a_1,a_2,\dotsc,a_n$ étant des réels quelconques : $$\e^{a_1+a_2+\dotsb+a_n}=\e^{a_1}\cdot \e^{a_2}\dotsm \e^{a_n}.$$
4. Pour tout réel $x$ et pour tout entier relatif $n$ : $$e^{nx}={(\e^x)}^n.$$

La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$, et on a : $$\forall x\in\R,\;(\exp)'(x)=\e^x.$$

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $f=\e^u$ est aussi dérivable sur $I$, et on a, pour tout réel $x$ appartenant à $I$ : $$f'(x)=u'(x)\cdot\e^{u(x)}.$$

Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
Alors la fonction $f=\e^u$ est une primitive sur $I$ de la fonction $u’\cdot\e^u$.