Définition
La fonction logarithme népérien, $\ln$, est continue et strictement croissante de ${]0,+\infty[}$ dans $\R$.
Elle réalise une bijection entre ces deux ensembles. Sa bijection réciproque est la fonction exponentielle de $\R$ dans ${]0,+\infty[}$, notée $\exp$.
Pour tout réel strictement positif $x$ et pour tout réel $y$ :\[y=\ln{x}\iff x=\exp{y}.\]
- $\exp(0)=1$ car $\ln(1)=0$.
- $\exp(1)=\e$ car $\ln(\e)=1$.
- $\exp\left(\dfrac{1}{2}\right)=\sqrt{\e}$ car $\ln\sqrt{\e}=\dfrac{1}{2}$.
Les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques l’une de l’autre, c’est à dire…
- Pour tout réel strictement positif $x$,\[\exp(\ln{x})=x.\]
- Pour tout réel positif $x$,\[\ln(\exp{x})=x.\]
Propriété fondamentale
Soient $x$ et $y$ deux réels. Alors :\[\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y).\]
Soient $x$ et $y$ deux réels quelconques, et on pose $a=\exp(x)$ et $b=\exp(y)$.On a donc :\[x=\ln(a)\quad\text{et}\quad y=\ln(b).\]On en déduit :\[x+y=\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab).\]En utilisant la bijection réciproque, on obtient :\[exp(x+y)=ab=\exp(x)\cdot \exp(y).\]Ce qui est le résultat annoncé.
La fonction logarithme transforme les produits en somme.
La fonction exponentielle transforme les sommes en produit.
$a_1,a_2,\dotsc,a_n$ étant des réels quelconques, on a :\[\exp(a_1+a_2+\dotsb+a_n)=\exp(a_1)\cdot \exp(a_2)\dotsm\exp(a_n).\]
Elle se fait par récurrence sur l’entier $n$, en utilisant le résultat précédent.
$x$ et $y$ étant deux réels quelconques, on a :\[\exp(x-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}.\]En particulier :\[\exp(-y)=\frac{1}{\exp(y)}.\]
$\exp(x)=\exp\bigl[(x-y)+y\bigr]=\exp(x-y)\cdot \exp(y)$, d’où le résultat.
En particulier : $\exp(-y)=\exp(0-y)=\dfrac{\exp 0}{\exp(y)}=\dfrac{1}{\exp(y)}$.
$x$ étant un réel quelconque et $n$ un entier relatif, on a :\[\exp(nx)={(\exp x)}^n.\]
Résultat immédiat pour $n=0$ et $n=1$.
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à $2$, on reprend le résultat précédent avec $n$ réels tous égaux au réel $x$.
Soit $n$ un entier strictement négatif. On pose $n=-m$ et on a :\[\exp(nx)=\exp(-mx)=\frac{1}{\exp(mx)}=\frac{1}{{(\exp x)}^m}={(\exp x)}^{-m}={(\exp x)}^n.\]
Autre notation
Commençons par quelques remarques :
- Nous savons que, pour tout entier relatif $n$, on a $\ln\left(\e^n\right)=n$.
En utilisant la bijection réciproque, on obtient :\[\forall n\in\Z,\;\exp(n)=\e^n.\] - Soit $x$ un réel quelconque et $n$ un entier naturel non nul.\[e=\exp(1)=\exp\left(\frac{1}{n}\cdot n\right)={\left[\exp\left(\frac{1}{n}\right) \right]}^n.\]On en déduit :\[\forall n\in\N,\;\exp\left(\frac{1}{n}\right)=\e^{1/n}.\]
- Soit $r$ un rationnel. On sait que $r$ s’écrit sous la forme $\frac{p}{q}$, où $p$ est un entier relatif et $q$ un entier naturel non nul.\[\e^p=\exp(p)=\exp\left(\frac{p}{q}\cdot q\right)={\left[\exp\left(\frac{p}{q}\right) \right]}^q.\]On en déduit :\[\exp(r)=\exp\left(\frac{p}{q}\right)={\left(\e^p\right)}^{1/q}=\e^{q/p}=\e^r.\]Donc :\[\forall r\in\Q,\;\exp(r)=\e^r.\]
On généralise à tous les réels cette propriété à l’aide de la définition suivante :
Pour tout réel $x$, on pose $\exp(x)=\e^x$.
On peut réécrire à l’aide de cette nouvelle formulation, les propriétés fondamentales de la fonction exponentielle :
- Pour tout réel $x$ strictement positif et pour tout réel $y$ :\[y=\ln(x) \iff x=\e^y.\]
- Pour tous réels $x$ et $y$ :\[\e^{x+y}=\e^x\e^y\quad\text{et}\quad e^{x-y}=\frac{\e^x}{\e^y}\quad\text{et}\quad \e^{-y}=\frac{1}{\e^y}.\]
- $a_1,a_2,\dotsc,a_n$ étant des réels quelconques :\[\e^{a_1+a_2+\dotsb+a_n}=\e^{a_1}\cdot \e^{a_2}\dotsm \e^{a_n}.\]
- Pour tout réel $x$ et pour tout entier relatif $n$ :\[e^{nx}={(\e^x)}^n.\]
Dérivabilité et recherche de primitives
La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$, et on a :\[\forall x\in\R,\;(\exp)'(x)=\e^x.\]
Montrons que la fonction $\exp$ est dérivable sur $\R$.
Pour cela, nous allons montrer qu’elle est dérivable en un réel $x_0$ fixé en calculant la limite du taux de variation $\lim\limits_{x\to x_0}\;\dfrac{e^x-\e^{x_0}}{x-x_0}$.
Posons $y=\e^x$ et $y_0=\e^{x_0}$, et nous avons donc $x=\ln(y)$ et $x_0=\ln(y_0)$.
Les fonctions $\ln$ et $\exp$ étant continues, dire que $x$ tend vers $x_0$ est équivalent à dire que $y$ tend vers $y_0$.
D’où :\[\lim\limits_{x\to x_0}\;\frac{\e^x-\e^{x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{y\to y_0}\;\frac{y-y_0}{\ln(y)-\ln({y_0})}=\lim\limits_{y\to y_0}\;\frac{1}{\frac{\ln(y)-\ln({y_0})}{y-{y_0}}}=\frac{1}{\frac{1}{y_0}}=y_0=\e^{x_0}.\]Nous avons ainsi démonter que $\exp$ est dérivable en $x_0$ et que $\left(\e^{x_0}\right)’=\e^{x_0}$, ceci pour tout réel.Nous aurions pu aussi raisonner de la façon suivante à condition de savoir au préalable que la fonction $\exp$ est dérivable sur $\R$ ; cette méthode permet de retrouver la formule.
Nous savons que : pour tout réel $x$, $\ln(\exp x)=x$.
En dérivant les deux membres de cette égalité, on obtient :\[\forall x\in\R,\;(\ln)'(\exp x)\cdot(\exp)'(x)=1.\]Soit :\[\forall x\in\R,\;\frac{1}{\exp(x)}\cdot (\exp)'(x)=1.\]Finalement :\[\forall x\in\R,\;(\exp)'(x)=\exp(x)\]
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $f=\e^u$ est aussi dérivable sur $I$, et on a, pour tout réel $x$ appartenant à $I$ :\[f'(x)=u'(x)\cdot\e^{u(x)}.\]
Nous avons : $f=\exp\circ u$.
On utilise donc le théorème de dérivation d’une fonction composée.
Pour tout réel $x$ appartenant à $I$ :\[f'(x)=(\exp)’\bigl[u(x)\bigr]\cdot u'(x)=\exp\bigl[u(x)\bigr]\cdot u'(x)=\e^{u(x)}\cdot u'(x).\]
Considérons la fonction $f(x)=e^{x^2-3x+5}$, et posons $u(x)=x^2-3x+5$.
La fonction $u$ est définie et dérivable sur $\R$, nous en déduisons donc que la fonction $f$ est elle aussi dérivable sur $\R$. D’autre part, pour tout réel $x$, $f'(x)=u'(x)\e^{u(x)}=(2x-3)\e^{x^2-3x+5}$.
Nous en déduisons le théorème suivante.
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
Alors la fonction $f=\e^u$ est une primitive sur $I$ de la fonction $u’\cdot\e^u$.
Calculer la primitive $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=x\e^{x^2}$ vérifiant $F(0)=0$.
On a $f(x)=\dfrac{1}{2}(2x)\e^{x^2}=\dfrac{1}{2}u'(x)\e^{u(x)}$ avec $u(x)=x^2$.
D’où, pour tout réel $x$ :\[F(x)=\frac{1}{2}\e^{x^2}+k.\]Il reste à déterminer $k$ tel que $F(0)=0$.
En remplaçant $x$ par $0$ dans $F(x)$, on obtient $k=-\dfrac{1}{2}$.
La primitive cherchée est donc, pour tout réel $x$, $F(x)=\dfrac{1}{2}\left(\e^{x^2}-1 \right)$.