Soit $P$ un polynôme du second degré à coefficient réels $P(x)=ax^2+bx+c$ (avec $a$ réel non nul). La forme développée étant $P(x)=ax^2+bx+c$, nous nous proposons ici de déterminer (si elle existe) la forme factorisée.
Méthode
Soit $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant. Nous avons :\begin{align*}P(x)&=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right) \\&=a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right) \\&=a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\tag{1}\label{eq:meth1-1}\end{align*}Trois cas se présentent :
- $\Delta\gt0$. L’équation « $P(x)=0$ » admet deux racines : $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\text{ et }x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.$\begin{align*}\eqref{eq:meth1-1}\iff P(x)&=a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right) \\&=a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-{\left(\sqrt{\frac{\Delta}{2a}}\right)}^2\right) \\&=a\left(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right) \\&=a\left(x-x_2\right)\left(x-x_1\right)\end{align*}Nous obtenons ainsi la forme factorisée :\[P(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right).\]
- $\Delta=0$. L’équation « $P(x)=0$ » admet une unique racine : $x_0=-\dfrac{b}{2a}$.
Nous avons :\[\eqref{eq:meth1-1}\iff P(x)=a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{0}{4a^2}\right)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2=a{(x-x_0)}^2\]Nous obtenons ainsi la forme factorisée :\[P(x)=a{(x-x_0)}^2.\]Vu la factorisation obtenue, nous dirons que dans le cas du discriminant $\Delta$ nul, l’équation « $P(x)=0$ » admet une racine double $x_0=-\dfrac{b}{2a}$. - $\Delta\lt0$. L’équation « $P(x)=0$ » n’a pas de racine dans $\mathbb{R}$.
Il est donc impossible de factoriser $P$ comme produit de polynôme du premier degré (car un polynôme du premier degré a une racine dans $\mathbb{R}$).