Variation de la fonction exp
Nous savons que pour tout réel $x$, $e^x\gt 0$.
La fonction exponentielle est donc strictement croissante sur $\R$ et nous en déduisons la propriété suivante.
Pour tout couple $(x,y)$ de réels :\[\e^x=\e^y\iff x=y\]\[\e^x\lt \e^y \iff x\lt y\]En particulier :\[\e^x=1 \iff x=0\]\[\e^x\lt 1 \iff x\lt 0\]
Résoudre dans $\R$ l’équation : $e^{3x+1}=2$.
L’équation est équivalente à :\[\ln\left(e^{3x+1}\right)=\ln(2)\text{ soit }3x+1=\ln(2)\text{ soit }x=\frac{1}{3}\bigl(\ln(2)-1\bigr).\]L’ensemble des solutions de l’équation est $\left\{\dfrac{1}{3}\bigl(\ln(2)-1\bigr)\right\}$.
Limites et croissances comparées
La fonction $\exp$ est la bijection réciproque de la fonction $\ln$ et à propos de la fonction $\ln$,nous savons que $\lim\limits_{x\to 0^+}\;\ln(x)=-\infty $ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\ln(x)=+\infty$. Nous en déduisons alors la propriété suivante.
$\lim\limits_{x\to -\infty}\;\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\e^x=+\infty $
Comparons maintenant la fonction $\exp$ avec les fonctions puissances :
$ \lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}\;x\e^x=0$
$\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{\e^x}{x}=\lim\limits_{y\to +\infty}\;\dfrac{y}{\ln(y)}=+\infty$ puisque $\lim\limits_{y\to +\infty}\;\dfrac{\ln(y)}{y}=0$ On a posé $y=\e^x$, d’où $x=\ln(y)$..
$\lim\limits_{x\to -\infty}\;x\e^x=\lim\limits_{x\to +\infty}\;(-x)\e^{-x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{-x}{\e^x}=0$ puisque $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{\e^x}{x}=+\infty $
A propos des propriétés « croissances comparées », nous avons vu dans la partie consacrée à la fonction $\ln$ et dans la partie consacrée à la fonction $\exp$, des résultats appelés « croissances comparées » qui sont des résultats sur des limites.
Dans ces propriétés, l’idée est qu’en cas de formes indéterminées lors de calcul de limite, si cette forme indéterminée provient d’un produit ou d’un quotient avec les fonctions puissances, $\ln$ et $\exp$, la règle est la suivante :
- L’exponentielle l’emporte sur la puissance.
- La puissance l’emporte sur le $\ln$.
$\lim\limits_{x\to 0^+}\;x\cdot\ln(x)=0$, $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{x}{\ln(x)}=+\infty $, $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{\e^x}{x^3}=+\infty $, $\lim\limits_{x\to +\infty}\;\dfrac{\ln(x)}{\e^x}=0$, …
Si la forme indéterminée provient d’une somme, il suffit de mettre le terme dominant en facteur :
$\lim\limits_{x\to +\infty}\;\left(x-\e^x\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\;\e^x\left(\dfrac{x}{\e^x}-1 \right)=-\infty$, …
Graphe de $\exp$
Animation en cours de réalisation.