On dit que deux proposition $A$ et $B$ sont équivalentes lorsque la proposition conditionnelle si $A$ alors $B$ et sa réciproque si $B$ alors $A$ sont toutes les deux vraies. On pourra alors écrire $A$ si et seulement si $B$ ou $A \iff B$ qui se lit $A$ équivaut à $B$.
Deux propositions équivalentes sont vraies en même temps et fausses en même temps.
- La proposition « si ($x=1$ ou $x=-1$) alors $(x^2=1)$ » et sa réciproque « si $(x^2=1)$ alors ($x=1$ ou $x=-1$) » sont vraies. On peut donc écrire « $(x^2=1)$ si et seulement si ($x=1$ ou $x=-1$) ».
- On considère trois points $A$, $B$ et $C$ distincts. La proposition « (le triangle $ABC$ est rectangle en $A$) ⇔ (le point $A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$) » est vraie car les deux propositions « si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ alors $A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ » et « si $A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ » sont vraies.
Lorsque deux propriétés $A$ et $B$ sont équivalentes, on peut aussi dire :
- pour que $A$ soit vraie, il faut et il suffit que $B$ soit vraie (et inversement) ;
- $B$ est une condition nécessaire et suffisante pour $A$ (et inversement).
En reprenant l’exemple 2 précédent, on peut aussi écrire :
- Pour que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$, il faut et il suffit que $A$ appartienne au cercle de diamètre $[BC]$.
- Le fait que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$ est une condition nécessaire et suffisante pour que le point $A$ appartienne au cercle de diamètre $[BC]$.
Lorsqu’il existe une propriété équivalente à la définition d’un objet mathématique, on dit que cette propriété caractérise l’objet en question. On parle alors de propriété caractéristique.
La proposition « le point $K$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$ » est vraie. On dit que la propriété « $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{KB}$ » caractérise le milieu $K$ de $[AB]$.