La façon la plus simple de définir une suite de réels est de dire qu’il s’agit d’une famille de réels rangés dans un certain ordre. Chaque nombre est appelé un terme de la suite.
Cela signifie qu’il y a donc le premier terme, le second, le troisième….
En général, une suite est notée sous la forme ${(u_n)}_n\in\mathbb{N}$, ou plus simplement ${(u_n)}_n$ et s’il n’y a pas d’ambiguïté avec « le réel un entre parenthèses » $(u_n)$.
Le premier terme de la suite est u_0, le second terme est $u_1,\dotsc,n$ est le rang du terme $u_n$.
Suivant les applications que nous traiterons, nous commencerons à numéroter le 1er terme de la suite par $0$ ($n\in\mathbb{N}$), par $1$ ($n\in\mathbb{N}^*$) ou par un autre entier naturel…
Attention, si nous commençons à noter le premier terme de la suite $u_0$ ou $u_1$, cela entrainera que par exemple le cinquième terme sera $u_4$ ou $u_5$.
Le terme $u_n$ de la suite ${(u_n)}_n$ est appelé le terme général de la suite.
Une autre façon de définir une suite de réels (plus rigoureuse) est de dire qu’il s’agit d’une fonction de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$.
En pratique, il s’agira souvent d’une application de $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$ dans $\mathbb{R}$.
En effet, soit $u$ une telle fonction. Le premier terme de la suite est égal à $u(0)$. Le second terme de la suite est égal à $u(1)$. De façon plus générale, le nième terme de la suite est égal à $u(n-1)$.
Par habitude, nous noterons non plus $f$, $g$… le nom de la fonction, mais plutôt $u$, $v$, $w$…
De plus, nous noterons le terme général $u_n$ au lieu de $u(n)$.
Il s’agit seulement d’une notation (plus adaptée à l’étude des suites).
Afin de simplifier le discours, sauf indication contraire, dans les définitions, propriétés, théorèmes de ce module, les suites de réels seront définies sur $\mathbb{N}$.