La contraposée
Définition
La proposition si $A$ alors $B$ a pour contraposée la proposition si (non $B$) alors (non $A$).
Propriété
Une proposition conditionnelle et sa contraposée sont vraies en même temps et fausses en même temps. On dit qu’elles sont équivalentes.
Exemple
- La contraposée du théorème de Pythagore est « si dans un triangle $ABC$, on a $AB^2+BC^2\ne AC^2$ alors le triangle $ABC$ n’est pas rectangle en $B$ ». On l’utilise pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle.
- Soit un point $M(x_M,y_M)$ un point du plan. La proposition « si $y_M=3x_M+2$ alors le point $M$ appartient à la droite d’équation $y=3x+2$ » a pour contraposée « si $M$ n’appartient pas à la droite d’équation $y=3x+2$ alors $y_M\ne 3x_M+2$ ».
Vocabulaire
Lorsque la propriété « si $A$ alors $B$ » est vraie, sa contraposée « si non $B$ alors non $A$ » est elle aussi vraie. On l’interprète en disant que $B$ est une condition nécessaire pour $A$ car si $B$ n’est pas vraie, alors $A$ non plus. On dit aussi qu’il faut avoir $B$ pour avoir $A$.
Exemple
- Comme « $(x=-2)\implies (x^2=4)$ » est vraie, on peut dire que « $x^2=4$ est une condition nécessaire pour avoir $x=-2$ ». On peut aussi dire « il faut que $x^2=4$ pour que $x=-2$ ».
- Il faut que $ABCD$ soit un parallélogramme pour que $ABCD$ soit un losange.
La réciproque
Définition
La proposition conditionnelle si $A$ alors $B$ a pour réciproque la proposition conditionnelle si $B$ alors $A$.
Exemple
- L’implication « si $x^2\geq 4$ alors $x\geq 2$ » est fausse et sa réciproque « si $x\geq 2$ alors $x^2\geq 4$ » est vraie.
- L’implication « si $x=1$ alors $x^2=1$ » est vraie mais sa réciproque « si $x^2=1$ alors $x=1$ » est fausse car on peut avoir $x=-1$.
- On considère un triangle $ABC$. L’implication « si le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ alors $AB^2+BC^2=AC^2$ » est vraie et sa réciproque aussi (théorème de Pythagore et sa réciproque).