La fonction logarithme de base $a$, notée $log_a$, est la fonction définie sur ${]0,+\infty[}$ par :\[\log_a(x)=\frac{\ln{x}}{\ln{a}}\quad\text{avec $a\gt 0$ et $a\ne 1$.}\]
La fonction logarithme népérien, $\ln$, est la fonction $\log_e$.
Cette fonction hérite des propriétés de la fonction $\ln$, à savoir :
- Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)$.
- Pour tout entier relatif $n$, $\log_a(a^n)=n$.
- $\log_a(1)=0$.
La fonction ${\log_a}$ est dérivable sur ${]0,+\infty[}$ et on a :\[\forall x\in\R^{*+},\;(\log_a)'(x)=\frac{1}{\ln(a)}\cdot \frac{1}{x}.\]
Pour $a=10$, on obtient la fonction logarithme décimal, notée $\mathrm{Log}$.
Cette fonction intervient dans la définition du pH en chimie, mais initialement, cette fonction $\mathrm{Log}$ était très utilisée en Physique, astronomie, etc, car elle permettait de simplifier les calculs de nombres exprimés à l’aide de puissance de $10$ (en utilisant $\mathrm{Log}(10^n)=n$ pour $n$ entier relatif).
De même, la fonction $\log_2$ était utilisait pour les calculs de complexité en informatique (où beaucoup de nombre s’exprime en fonction de $2^n$ (en utilisant $\log_2(2^n)=n$ pour $n$ entier relatif).
Actuellement, avec les calculatrices et ordinateurs, ces fonctions logarithmes de base $a$ ne sont plus beaucoup utilisées.