- $\Vect(\varnothing)$=${0_E}$.
- $\Vect(A)=\bigcap\limits_{\begin{matrix}F\text{ sev} \\A\subset F \\\end{matrix}}{F}$.
- Si $A$ est un espace vectoriel, alors $\Vect(A)=A$.
Nous allons procéder par double inclusion.
- Montrons que : $\Vect\bigl(\{x_1,\ldots,x_n\}\bigr)\subset \left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$.
Il suffit de remarquer que $\left\{ \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$ est un sous-espace vectoriel (non vide et stable par combinaison linéaire) contenant ${x_1,\ldots,x_n}$.
Donc, $\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$ contient le plus petit sous-espace vectoriel contenant ${x_1,\ldots,x_n}$.- Réciproquement, montrons que : $\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda _i\in \mathbb{K}\right\}\subset \Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\}\right)$.
$\Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\}\right)$ contient ${x_1,\ldots,x_n}$. Il contient donc toutes les combinaisons linéaires de $\{x_1,\ldots,x_n\}$, c’est-à-dire $\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in\mathbb{K}\right\}$. D’où le résultat.
Soit le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^3$. Montrons que $F=\bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\bigm\vert x+y+z=0\bigr\}$ est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.
Soit $u=(x,y,z)$ et, $\alpha$ et $\beta$ deux réels.\[u\in F\iff x+y+z=0\iff \begin{cases} x&=&-\alpha-\beta \\ y&=&\hphantom{-\alpha-}\beta \\ z&=&\hphantom{-}\alpha \end{cases}\]
Posons $u_0=(-1,0,1)$ et $u_1=(-1,1,0)$.
Nous obtenons $u\in F\iff \exists \alpha \in\mathbb{R},\ \exists \beta \in\mathbb{R},\ u=\alpha u_0+\beta u_1$.Ainsi, $F=\Vect(\{u_0,u_1\})$ et $F$ est un sous-espace vectoriel de famille génératrice $\{u_0,u_1\}$.
Soit le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^3$. Montrons que $G=\bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\bigm\vert x+y+z=0 \wedge x-y+2z=0\bigr\}$ est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.
Soit $u=(x,y,z)$ et $\alpha$ est un réel.
\[\begin{align*}u\in G&\iff \left\{ \begin{matrix} x+y+\hphantom{2}z&=&0 \\ x-y+2z&=&0 \\\end{matrix} \right.\\&\iff \left\{ \begin{matrix} x+\hphantom{2}y+z&=&0 \\ \hphantom{x+}2y-z&=&0\end{matrix} \right.\iff \left\{ \begin{matrix} x&=&-\frac32\alpha \\ y&=&\hphantom{-}\frac12\alpha \\ z&=&\hphantom{-\frac12}\alpha \\\end{matrix} \right.\\\end{align*}\]Posons $u_0=\left(-\frac{3}{2},\frac12,1 \right)$. Nous obtenons $u\in G\iff \exists \alpha \in \mathbb{R},\ u=\alpha u_0$.
Ainsi, $G=\Vect\left(\{u_0\}\right)$ et $G$ est un sous-espace vectoriel de famille génératrice $\{u_0\}$.
Soit le $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{R}^2$. Montrons que $H =\left\{(x+y+z,z-2y) \mid (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\right\}$ est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.
Nous avons :\[\begin{align*}H&=\left\{(x,0)+(y,-2y)+(z,z) \mid (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\right\}\\&=\left\{x(1,0)+y(1,-2)+ z(1,1)\mid (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\right\}.\end{align*}\]D’où $H=\Vect \left\{(1,0),(1,-2),(1,1)\right\}$.
$H$ est donc engendré par la famille de vecteurs : $\left\{(1,0),(1,-2),(1,1)\right\}$.
Soient $A$ et $B$ deux parties d’un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$.\[A\subset B\implies \Vect\left(A \right)\subset \Vect\left(B \right)\]
Soit $u$ un élément de $\Vect(A)$. Il s’écrit donc comme combinaison linéaire d’éléments de $A$ donc d’éléments de $B$ et par conséquent $u$ est un élément de $\Vect(B)$.
Soit $F$ un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel $E$, $\{x_1,\ldots,x_n\}$ des vecteurs de $E$.
Pour montrer que $\Vect\bigl(\{x_1,\ldots,x_n\} \bigr)\subset F$, il suffit de prouver que $\forall i,\ 1\le i\le n,\ x_i \in F$.