Sous-espace vectoriel engendré | eMaths

Définition

Soit

$E$ un

$\mathbb{K}$ -espace vectoriel et

$A$ une partie non vide de

$E$ . Le sous-espace vectoriel engendré par

$A$ est le plus petit sous-espace vectoriel de

$E$ contenant

$A$ . On le note

$\Vect(A)$ (ou

$\langle A \rangle$ ). Voir l'animation

Remarque

$\Vect(\varnothing)$ = ${0_E}$ .
$\Vect(A)=\bigcap\limits_{\begin{matrix}F\text{ sev} \\A\subset F \\\end{matrix}}{F}$ .
Si $A$ est un espace vectoriel, alors $\Vect(A)=A$ .

Théorème

Soit

$E$ un

$\mathbb{K}$ -espace vectoriel et

$x_1, \ldots,x_n$ des éléments de

$E$ .

$\Vect(\{x_1,\ldots,x_n\})$ est l’ensemble des combinaisons linéaires de

$x_1, \ldots,x_n$ .

$\Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\}\right)=\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$ Dans ce cas, on dit que la famille

$\{x_1,\ldots,x_n\}$ est une famille génératrice de ce sous-espace vectoriel.

Voir la preuve

Nous allons procéder par double inclusion.
Montrons que : $\Vect\bigl(\{x_1,\ldots,x_n\}\bigr)\subset \left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$ .
Il suffit de remarquer que $\left\{ \sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$ est un sous-espace vectoriel (non vide et stable par combinaison linéaire) contenant ${x_1,\ldots,x_n}$ .
Donc, $\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in \mathbb{K}\right\}$ contient le plus petit sous-espace vectoriel contenant ${x_1,\ldots,x_n}$ .
Réciproquement, montrons que : $\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda _i\in \mathbb{K}\right\}\subset \Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\}\right)$ .
$\Vect\left(\{x_1,\ldots,x_n\}\right)$ contient ${x_1,\ldots,x_n}$ . Il contient donc toutes les combinaisons linéaires de $\{x_1,\ldots,x_n\}$ , c’est-à-dire $\left\{\sum\limits_{i=1}^{n}\lambda_ix_i\,\middle\vert\,\forall i=1,\ldots,n,\ \lambda_i\in\mathbb{K}\right\}$ . D’où le résultat.

Exemple

Soit le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ . Montrons que $F=\bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\bigm\vert x+y+z=0\bigr\}$ est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.

Voir la solution

Soit $u=(x,y,z)$ et, $\alpha$ et $\beta$ deux réels. $u\in F\iff x+y+z=0\iff \begin{cases} x&=&-\alpha-\beta \\ y&=&\hphantom{-\alpha-}\beta \\ z&=&\hphantom{-}\alpha \end{cases}$
Posons $u_0=(-1,0,1)$ et $u_1=(-1,1,0)$ .
Nous obtenons $u\in F\iff \exists \alpha \in\mathbb{R},\ \exists \beta \in\mathbb{R},\ u=\alpha u_0+\beta u_1$ .
Ainsi, $F=\Vect(\{u_0,u_1\})$ et $F$ est un sous-espace vectoriel de famille génératrice $\{u_0,u_1\}$ .

Exemple

Soit le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ . Montrons que $G=\bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\bigm\vert x+y+z=0 \wedge x-y+2z=0\bigr\}$ est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.

Voir la solution

Soit $u=(x,y,z)$ et $\alpha$ est un réel.
$\begin{align*}u\in G&\iff \left\{ \begin{matrix} x+y+\hphantom{2}z&=&0 \\ x-y+2z&=&0 \\\end{matrix} \right.\\&\iff \left\{ \begin{matrix} x+\hphantom{2}y+z&=&0 \\ \hphantom{x+}2y-z&=&0\end{matrix} \right.\iff \left\{ \begin{matrix} x&=&-\frac32\alpha \\ y&=&\hphantom{-}\frac12\alpha \\ z&=&\hphantom{-\frac12}\alpha \\\end{matrix} \right.\\\end{align*}$
Posons $u_0=\left(-\frac{3}{2},\frac12,1 \right)$ . Nous obtenons $u\in G\iff \exists \alpha \in \mathbb{R},\ u=\alpha u_0$ .
Ainsi, $G=\Vect\left(\{u_0\}\right)$ et $G$ est un sous-espace vectoriel de famille génératrice $\{u_0\}$ .

Exemple

Soit le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ . Montrons que $H =\left\{(x+y+z,z-2y) \mid (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\right\}$ est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.

Voir la solution

Nous avons : $\begin{align*}H&=\left\{(x,0)+(y,-2y)+(z,z) \mid (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\right\}\\&=\left\{x(1,0)+y(1,-2)+ z(1,1)\mid (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\right\}.\end{align*}$ D’où $H=\Vect \left\{(1,0),(1,-2),(1,1)\right\}$ .
$H$ est donc engendré par la famille de vecteurs : $\left\{(1,0),(1,-2),(1,1)\right\}$ .

Propriété

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ . $A\subset B\implies \Vect\left(A \right)\subset \Vect\left(B \right)$

Voir la preuve

Soit $u$ un élément de $\Vect(A)$ . Il s’écrit donc comme combinaison linéaire d’éléments de $A$ donc d’éléments de $B$ et par conséquent $u$ est un élément de $\Vect(B)$ .

Remarque

Soit $F$ un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel $E$ , $\{x_1,\ldots,x_n\}$ des vecteurs de $E$ .
Pour montrer que $\Vect\bigl(\{x_1,\ldots,x_n\} \bigr)\subset F$ , il suffit de prouver que $\forall i,\ 1\le i\le n,\ x_i \in F$ .

Chapitre 16Espaces vectoriels

ThéoriesSous-espace vectoriel engendré