ThéoriesSous-espace vectoriel engendré

Définition
Soit [math] un [math]-espace vectoriel et [math] une partie non vide de [math]. Le sous-espace vectoriel engendré par [math] est le plus petit sous-espace vectoriel de [math] contenant [math]. On le note [math] (ou [math]). Voir l'animation
  1. [math]=[math].
  2. [math].
  3. Si [math] est un espace vectoriel, alors [math].
Théorème
Soit [math] un [math]-espace vectoriel et [math] des éléments de [math].[math] est l’ensemble des combinaisons linéaires de [math].[math]Dans ce cas, on dit que la famille [math] est une famille génératrice de ce sous-espace vectoriel.
Nous allons procéder par double inclusion.
  • Montrons que : [math].
    Il suffit de remarquer que [math] est un sous-espace vectoriel (non vide et stable par combinaison linéaire) contenant [math].
    Donc, [math] contient le plus petit sous-espace vectoriel contenant [math].
  • Réciproquement, montrons que : [math].
    [math] contient [math]. Il contient donc toutes les combinaisons linéaires de [math], c’est-à-dire [math]. D’où le résultat.

Soit le [math]-espace vectoriel [math]. Montrons que [math] est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.

Soit [math] et, [math] et [math] deux réels.[math]

Posons [math] et [math].
Nous obtenons [math].

Ainsi, [math] et [math] est un sous-espace vectoriel de famille génératrice [math].

Soit le [math]-espace vectoriel [math]. Montrons que [math] est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.

Soit [math] et [math] est un réel.

[math]

Posons [math]. Nous obtenons [math].
Ainsi, [math] et [math] est un sous-espace vectoriel de famille génératrice [math].

Soit le [math]-espace vectoriel [math]. Montrons que [math] est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.

Nous avons :[math]D’où [math].

[math] est donc engendré par la famille de vecteurs : [math].

Propriété

Soient [math] et [math] deux parties d’un [math]-espace vectoriel [math].[math]

Soit [math] un élément de [math]. Il s’écrit donc comme combinaison linéaire d’éléments de [math] donc d’éléments de [math] et par conséquent [math] est un élément de [math].

Soit [math] un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel [math], [math] des vecteurs de [math].
Pour montrer que [math], il suffit de prouver que [math].