- [math]=[math].
- [math].
- Si [math] est un espace vectoriel, alors [math].
Nous allons procéder par double inclusion.
- Montrons que : [math].
Il suffit de remarquer que [math] est un sous-espace vectoriel (non vide et stable par combinaison linéaire) contenant [math].
Donc, [math] contient le plus petit sous-espace vectoriel contenant [math].- Réciproquement, montrons que : [math].
[math] contient [math]. Il contient donc toutes les combinaisons linéaires de [math], c’est-à-dire [math]. D’où le résultat.
Soit le [math]-espace vectoriel [math]. Montrons que [math] est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.
Soit [math] et, [math] et [math] deux réels.[math]
Posons [math] et [math].
Nous obtenons [math].Ainsi, [math] et [math] est un sous-espace vectoriel de famille génératrice [math].
Soit le [math]-espace vectoriel [math]. Montrons que [math] est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.
Soit [math] et [math] est un réel.
[math]Posons [math]. Nous obtenons [math].
Ainsi, [math] et [math] est un sous-espace vectoriel de famille génératrice [math].
Soit le [math]-espace vectoriel [math]. Montrons que [math] est un sous-espace vectoriel en déterminant une famille génératrice.
Nous avons :[math]D’où [math].
[math] est donc engendré par la famille de vecteurs : [math].
Soient [math] et [math] deux parties d’un [math]-espace vectoriel [math].[math]
Soit [math] un élément de [math]. Il s’écrit donc comme combinaison linéaire d’éléments de [math] donc d’éléments de [math] et par conséquent [math] est un élément de [math].
Soit [math] un sous espace vectoriel d’un espace vectoriel [math], [math] des vecteurs de [math].
Pour montrer que [math], il suffit de prouver que [math].