Nous allons aborder ici une notion qui a fait couler beaucoup d’encre entre autre chez les auteurs de science-fiction : il s’agit de la notion de dimension. Comme nous allons le voir, nous travaillerons en dimension 1, 2, 3, 4, … sans aucun problème !!!!
Dans un premier temps, avant de définir la notion de dimension, nous définissons la notion de « dimension finie » et de « dimension infinie ». Puis, dans le cadre de la dimension finie, nous définirons la notion de dimension.
Un espace vectoriel $E$ est dit de dimension finie s’il possède une famille génératrice finie.Dans le cas contraire, $E$ est dit de dimension infinie.
Nous avons vu que $\{1, X, X^2\}$ est une famille génératrice de $\mathbb{R}^2[X]$.
Donc, $\mathbb{R}^2[X]$ est un espace vectoriel de dimension finie.
Soit $E=\mathbb{R}[X]$. Montrons que $E$ est de dimension infinie par un raisonnement par l’absurde.
Supposons $E$ de dimension finie. Il existe donc une famille génératrice de $E$ avec un nombre fini d’éléments. Soit $p$ le maximum des degrés de cette famille. En prenant des combinaisons linéaires des éléments de cette famille, le degré de cette combinaison linéaire sera toujours inférieur (ou égal) à $p$.
Il est donc impossible d’obtenir un polynôme de degré $(p+1)$. Absurde !Ainsi, nous venons de démontrer que $E=\mathbb{R}[X]$ est de dimension infinie.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, distinct de $\{0_E\}$, de dimension finie. Toutes les bases de $E$ ont le même nombre d’éléments. Ce nombre est la dimension de $E$, notée $\Dim(E)$.
Admise !
Le cas de l’espace vectoriel $\{0_E\}$ n’entre pas dans le cadre de notre définition. En effet, cet espace vectoriel n’admet pas de famille libre donc de base…On posera par convention $\Dim\bigl(\{0_E\}\bigr)=0$.
Intuitivement, la notion de dimension caractérise « la grosseur » d’un espace vectoriel, d’un sous-espace vectoriel. Le théorème suivant précise cela.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
- $F$ est de dimension finie et $\Dim(F)\le \Dim(E)$.
- $\Dim(F)=\Dim(E)$ si et seulement si $E=F$.
Admise !