Nous pouvons maintenant définir la notion capitale de base.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une base de $E$ est une famille libre et génératrice.
La méthode employée dans l’exemple suivant nous sera très utile et nous l’emploierons couramment dans les modules d’algèbre linéaire.
Soit $E=\mathbb{R}^3$ considéré comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
Soit $F$ défini par $\left\{ \begin{align*} \hphantom{2}x+y-2z&=0 \\ 2x-y+\hphantom{2}z&=0 \\ 8x-y-\hphantom{2}z&=0 \end{align*} \right.$, c’est-à-dire $F=\left\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3\text{ tels que }\left\{ \begin{align*} \hphantom{2}x+y-2z&=0 \\ 2x-y+\hphantom{2}z&=0 \\ 8x-y-\hphantom{2}z&=0 \end{align*} \right. \right\}$.
Montrons que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et déterminons une base de $F$ (nous allons obtenir les deux résultats avec une même démarche).
Soit $u=(x,y,z)$ un élément de $E$.
\[\begin{align*}u\in F&\iff \left\{ \begin{aligned}\hphantom{0}x+\hphantom{0}y-\hphantom{0}2z&=0 \\2x-\hphantom{0}y+\hphantom{00}z&=0 \\8x-\hphantom{0}y-\hphantom{00}z&=0 \\\end{aligned} \right.\\&\iff \left\{ \begin{aligned}\hphantom{0}x+\hphantom{0}y-\hphantom{0}2z&=0 \\\hphantom{0x}-3y+\hphantom{0}5z&=0 \\\hphantom{0x}-9y+15z&=0\end{aligned} \right.\\&\iff \left\{ \begin{aligned}\hphantom{0}x+\hphantom{0}y-\hphantom{0}2z&=0 \\\hphantom{0x}-3y+\hphantom{0}5z&=0\end{aligned} \right. \\&\iff \exists \alpha \in \mathbb{R} \text{ tel que } \left\{ \begin{aligned}x&=\frac75\alpha\\y&=\frac35\alpha\\z&=\hphantom{w}\alpha\end{aligned} \right. \\\end{align*}\]
Posons $\displaystyle{u_0=\left( \frac75,\frac35,1 \right)}$. Nous obtenons $u\in F\iff \exists \alpha\in\mathbb{R}\,\big\vert\, u=\alpha u_0$.
Nous en déduisons que $F=\Vect\bigl(\{u_0\}\bigr)$ et donc $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. De plus, la famille $\{u_0\}$ est génératrice. Il est clair qu’elle est libre. Donc il s’agit d’une base de $F$.
Soit $E=\mathbb{R}^3$ considéré comme un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.Soit $G$ défini par $x+y-2z=0$, c’est-à-dire $G=\bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \bigm\vert x+y-2z=0 \bigr\}$.
Montrons que $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et déterminons une base de $G$ (nous allons obtenir les deux résultats avec une même démarche).
Soit $u=(x,y,z)$ un élément de $E$.\[u\in G\iff x+y-2z=0\iff \exists \alpha \in \mathbb{R},\ \exists \beta \in \mathbb{R} \text{ tels que } \left\{ \begin{align*} x&=2\alpha-\beta \\ y&=\hphantom{0w-}\beta \\ z&=\hphantom{0}\alpha \end{align*} \right.\]
Posons $v_0=(2,0,1)$ et $v_1=(-1,1,0)$.
Nous obtenons $u\in G\iff \exists \alpha \in \mathbb{R},\ \exists \beta \in \mathbb{R}\,\big\vert\, u=\alpha v_0+\beta v_1$.
Nous en déduisons que $G=\Vect\bigl(\{v_0, v_1\}\bigr)$ et donc $G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.De plus, la famille $\{v_0, v_1\}$ est génératrice. Il est clair qu’elle est libre. Donc il s’agit d’une base de $G$.
Avant de voir les conséquences de cette définition, nous donnerons de nouveaux concepts dans le cours suivant…