Chapitre 16Espaces vectoriels

Dans $\mathbb{R}^2$, on définit les deux lois de composition suivantes :

• $\forall \bigl((x,y),(x’,y’)\bigr)\in\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2, (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)$
• $\forall\lambda\in\mathbb{R},\ \lambda\bullet(x,y)=(\lambda^2x,\lambda^2y)$

$(\mathbb{R}^2,+, \bullet)$ est-il un espace vectoriel réel ?

Dans $\mathbb{R}^2$, on définit les deux lois de composition suivantes :

• $\forall \bigl((x,y), (x’,y’)\bigr)\in\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2, (x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)$
• $\forall\lambda\in\mathbb{R},\ \lambda\square(x,y)=(\lambda x,0)$

$(\mathbb{R}^2,+,\square)$ est-il un espace vectoriel réel ?

Dans $E=\mathbb{R}^{+*}\times \mathbb{R}$, on définit les deux lois de composition suivantes :

• $\forall \bigl((x,y), (x’,y’)\bigr) \in E^2,\ (x,y)\oplus (x’,y’)=(xx’,y+y’)$
• $\forall\lambda\in\mathbb{R},\ \lambda\square(x,y)=(x\lambda,\lambda y)$

$(E,\oplus,\square)$ est-il un espace vectoriel réel ?

Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de $(\mathbb{R}^3,+,\cdot)$ ?

1. $F_1=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\vert z=0\bigr\}$
2. $F_2=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\vert x\lt 0\bigr\}$
3. $F_3=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\vert x=1\bigr\}$
4. $F_4=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\vert x=y, y=2z\bigr\}$

Les sous -ensembles suivants de $\mathbb{R}[X]$ sont-ils des sous-espaces vectoriels ?

1. $F_1=\bigl\{P\in\mathbb{R}[X] \vert P(0)=0\bigr\}$
2. $F_2=\bigl\{P\in\mathbb{R}[X] \vert P= 0\text{ ou }\deg (P) \leq 2\bigr\}$
3. $F_3=\bigl\{P\in\mathbb{R}[X] \vert P(0)=P(1)\bigr\}$
4. $F_4=\bigl\{P\in\mathbb{R}[X] \vert P+P’=1\bigr\}$

Dans $\mathbb{R}^3$, le vecteur $V=(1,2,3)$ appartient-il au sous-espace vectoriel $F_1$ engendré par $V_1=(0,1,0)$ et $V_2=(1,1,1)$ ?
Même question avec $F_2$ engendré par $V_3=(-1,-1,0)$ et $V_4=(0,1,3)$ ?

Dans $\mathbb{R}^3$, les systèmes suivants sont-ils libres ? générateurs de $\mathbb{R}^3$ ? des bases de $\mathbb{R}^3$ ?

1. $S_1=\{(1,0,0) (0,1,0)\}$
2. $S_2=\{(0,0,0);(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1)\}$
3. $S_3=\{(1,2,3)\}$
4. $S_4=\{(1,1,0);(0,1,1);(1,0,1)\}$

Dans $\mathscr{F}$ ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, les systèmes suivants sont-ils libres ou liés ?

1. $F_1=\{\cos,\sin\}$
2. $F_2=\left\{\exp,\frac1{\exp}\right\}$
3. $F_3=\left\{\exp,\frac1{\exp},\cosh\right\}$

1. Déterminer $\Dim(\mathbb{R}^4[X]$).
2. Déterminer $\Dim(E)$ avec $E=\{a\cos+b\sin \vert (a,b)\in\mathbb{R}^2\}$.

Dans $\mathbb{R}^3$, déterminer une base de $F=\bigl\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \vert x=y=2z\bigr\}$.