Pour clore ce module, nous allons présenter une dernière notion, celle de rang d’une famille de vecteurs. Cette notion, simple, nous sera très utile. Nous verrons aussi un algorithme pour obtenir ce rang, algorithme appelé « méthode des zéros échelonnés ».
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Soit $F=\{v_1,\ldots,v_p\}$ une famille de $p$ vecteurs de $E$.
Le rang de $F$ est la dimension de $\Vect\bigl(\{v_1,\ldots,v_p\}\bigr)$.
On note $\rg(F)$ le rang de la famille $F$.
$\rg(F)\leq p$.
Soit $E=\mathbb{R}^3$ considéré comme $\mathbb{R}^3$-espace vectoriel. Soient $u=(1,1,1)$, $v=(2,3,-1)$ et $w=(4,5,1)$.
Déterminons le rang de la famille $\{u,v,w\}$.
Pour cela, nous considérons $Vect(\{u,v,w\})$ et nous cherchons sa dimension.
Nous avons une famille génératrice et nous allons en déduire une base. Regardons si cette famille est libre ou liée. Pour cela nous résolvons le système : $\alpha u+\beta v+\gamma w= 0_{\mathbb{R}^3}$.
Cette équation est équivalente au système :\[\left\{ \begin{matrix} \alpha & + & 2\beta & + & 4\gamma & = & 0 \\ \alpha & + & 3\beta & + & 5\gamma & = & 0 \\ \alpha & – & \beta & + & \gamma & = & 0 \\\end{matrix} \right..\]Ce système a (en plus de la solution $\alpha=\beta=\gamma=0$) la solution $\alpha=2$, $\beta=1$, $\gamma=-1$.
Donc la famille est liée et nous avons $w=u+2v$. Ainsi :\[\Vect\bigl(\{u,v,w\}\bigr)=\Vect\bigl(\{u,v\}\bigr).\]Il est facile de montrer que la famille $\{u,v\}$ est libre. Donc, $\Vect\bigl(\{u,v,w\}\bigr)$ a pour base $(u,v)$ et $\Dim\left(\Vect\bigl(\{u,v,w\}\bigr)\right)=2$.
Nous concluons $\rg\bigl(\{u,v,w\}\bigr)=2$.
$\rg(F)=p$ si et seulement si $F$ est libre.
Immédiate.
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et soit $F=\{v_1,\ldots,v_n\}$ une famille de $n$ vecteurs de $E$.$\rg(F)=n$ si et seulement si $F$ est une base de $E$.
Immédiate.
Donnons maintenant un algorithme pour obtenir ce rang. Il s’agit de la méthode des zéros échelonnés. Elle est basée sur les propriétés suivantes.
- $\rg\bigl(\{v_1,\ldots,v_p\}\bigr)=\rg\bigl(\{\gamma_1v_1,\ldots,v_p\}\bigr)$ avec $\gamma_1$ élément de $\mathbb{K}^*$.
- $\rg\bigl(\{v_1,\ldots,v_p\}\bigr)=\rg\left(\left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p\right\}\right)$ avec $\gamma_2,\ldots,\gamma_p$ éléments de $\mathbb{K}$.
- $\rg\bigl(\{v_1,\ldots,v_p\}\bigr)=\rg\bigl(\{v_1,\ldots,v_p,0_E\}\bigr)$.
- Le rang d’une famille de vecteurs ne dépend pas de l’ordre des vecteurs.
- Soit $\gamma_1$ élément de $\mathbb{K}*$. Il suffit de remarquer que l’ensemble des combinaisons linéaires de $\{v_1,\ldots,v_p\}$ est égal à l’ensemble des combinaison linéaire de $\{\gamma_1v_1,\ldots,v_p\}$. Autrement dit : $\rg\bigl(\{v_1,\ldots,v_p\}\bigr)=\rg\bigl(\{\gamma1v_1,\ldots,v_p\}\bigr)$.
- Nous allons montrer que $\Vect\left(\{v_1,\ldots,v_p\}\right)=\Vect\left(\left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\} \right)$ en procédant par double inclusion. L’égalité voulue en découlera.
Montrons d’abord l’inclusion $Vect\left( \{v_1,\ldots,v_p\} \right)\subset Vect\left(\left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\}\right)$.
Soit $u$ un élément de $Vect(\{v_1,\ldots,v_p\})$. Il existe $p$ scalaires ${(\alpha_i)}_{i=1,\ldots,p}$ tels que $u=\sum\limits_{i=1}^{p}\alpha_iv_i$.
Nous avons alors : \[\eqalign{u=\alpha_1v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\alpha_iv_i&=\alpha_1v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\alpha_iv_i+\left(\alpha_1\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i-\alpha_1\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i\right)\cr&=\alpha_1\left(v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i\right)+\sum\limits_{i=2}^{p}{\left(\alpha_i-\alpha_1\lambda_i\right)v_i}}\]Ainsi, $u$ est une combinaison linéaire de $\left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\}$. D’où la première inclusion.
Montrons l’inclusion réciproque $\Vect\left( \left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\} \right)\subset\Vect\left(\{v_1,\ldots,v_p\} \right)$.
Soit $u$ un élément de $\Vect\left( \left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p \right\} \right)$, $u$ est donc une combinaison linéaire de $\left\{ v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p\right\}$. Donc, $u$ est une combinaison linéaire de $\{v_1,\ldots,v_p\}$.
Nous avons donc la seconde inclusion.
Nous en déduisons l’égalité :\[\rg\bigl(\{v_1,\ldots,v_p\}\bigr)=\rg\left(\left\{v_1+\sum\limits_{i=2}^{p}\lambda_iv_i,v_2,\ldots,v_p\right\}\right).\]- Les points 3 et 4 sont évidents.
En pratique, pour définir le sous-espace vectoriel engendré d’une famille de vecteurs, grâce aux points 1, 2 et 4 nous pouvons remplacer un vecteur par une combinaison linéaire de tous les vecteurs pourvu que le coefficient de ce vecteur soit non nul.
Nous obtenons le même sous-espace vectoriel engendré donc le même rang. Cela nous permet de calculer le rang d’une famille de vecteurs par la méthode dite des zéros échelonnés.
Nous allons décrire l’algorithme des zéros échelonnés à l’aide des exercices suivants.
Soit $E=\mathbb{R}^3$ muni de sa base canonique $(i,j,k)$.
- Soient $u=(0,1,1)$, $v=(1,1,1)$, $w=(-1,1,2)$ et $n=(1,2,0)$.
- Montrer que $\rg(\{u,v,w,n\})$ est $3$.
- En déduire une base de $E$ formée à l’aide des vecteurs $u$, $v$, $w$, $n$.
- Soient $a=(1,1,0)$, $b=(1,2,1)$, $c=(5,8,3)$ et $d=(-1,-4,-3)$. Soit $F=Vect(\{a,b,c,d\})$.
- Déterminer une base de $F$ formée à l’aide des vecteurs $a$,$b$,$c$,$d$.