Emergence de l’algèbre
L’algèbre est née en Egypte et à Babylone presque simultanément, mais les méthodes d’algèbre babyloniennes étaient plus sophistiquées que les méthodes égyptiennes. Des documents égyptiens comme le papyrus Rhind et le papyrus de Moscou datent respectivement de 1850 avant JC et 1650 avant JC mais les méthodes mathématiques qui s’y trouvent remontent à une période antérieure.
Pour résoudre des équations linéaires, les Égyptiens utilisaient une méthode qui a été fondée sur une estimation initiale suivie par une correction finale. Cette méthode a été appelée plus tard par les Européens de la « règle de fausse position » (Baumgart, 1992).
Selon Ferreira et Nogueira (2009), à Babylone, il y a des preuves que l’origine de l’algèbre débute autour de 1700 avant JC, avec un certain degré de sophistication. Les Babyloniens ont été en mesure de résoudre plusieurs équations à coefficients numériques.
Selon Baumgart (1992), le mot « algèbre » est une variante du latin, « al-jabr» ou «al-jebr » utilisé dans le titre du livre « Al-Jabr Hisab w’al-muqabalah » écrit à Bagdad vers 825. La traduction littérale du titre du livre est « la science de la restauration (ou réunion) et de la réduction », ce qui mathématiquement s’écrit « la science de la transposition et de l’annulation » ou « annulation des termes similaires (égaux) dans des membres opposés de l’équation ».
Bien que l’algèbre se référait uniquement aux équations, l’algèbre a maintenant un sens plus large. L’algèbre est alors constitué de deux parties :
- L’algèbre ancienne (élémentaire), qui se réfère à l’étude des équations et les moyens de les résoudre
- L’algèbre moderne se réfère à l’étude de structures mathématiques tels que les groupes, les anneaux, les corps.
Premiers concepts des espaces vectoriels
En 1888, Giuseppe Peano introduit la première définition axiomatique d’espace vectoriel, mais la théorie de l’espace vectoriel a commencé à se développer seulement après 1920. [1]
A travers la résolution de systèmes linéaires, il s’est développé la théorie des espaces vectoriels. L’une des questions qui est important tant pour le développement de systèmes linéaires, et plus tard pour les espaces vectoriels, est l’étude des courbes algébriques. [1]
Deux propositions concernant les courbes algébriques ont été connus :
- « Deux courbes algébriques distinctes d’ordre m et n respectivement ont en commun mn points. »Ces points peuvent être multiples, complexes ou infini, mais ce sont des points simples et réels qui étaient connus des mathématiciens de l’époque.
- « Pour déterminer une courbe d’ordre n, il est nécessaire et suffisant d’avoir $\frac{n(n+3)}{2}$ points ».Cette proposition conduit à un paradoxe. Lorsque n est supérieur à 2,$\frac{n(n+3)}{2}\le n^2$.
En 1750, deux ouvrages importants pour l’histoire des espaces vectoriels ont été publiés. Le premier, « Introduction à l’analyse des courbes algébriques » par Gabriel Cramer où les fondements pour le développement de la théorie des déterminants ont été posés, et « Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes courbes » de Leonhard Euler, qui est liée à des courbes algébriques et sur le paradoxe de Cramer. Ainsi, Euler a identifié la nature du problème. [1]
Après avoir analysé attentivement la situation, Euler a expliqué que dans certains cas, la proposition (2) peut être fausse lorsque n équations ne sont pas suffisantes pour déterminer n inconnues. Il a explicité ce qui est aujourd’hui connu sous le nom de système indéterminé d’équations linéaires, c’est-à-dire des systèmes de courbes algébriques qui n’ont pas de solution parce que les équations sont dépendantes les unes des autres.
Bien que l’objectif d’Euler fût de résoudre les systèmes linéaires par substitution et élimination, il a été parmi les premiers à démontrer l’importance de la dépendance linéaire. Ses idées ont servi de base pour l’approche de dépendance, cependant, elles ont été éclipsées par le travail de Cramer. [1]
En 1770, il étudie les carrés de nombres similaires à des carrés magiques. Euler était en mesure de caractériser les transformations orthogonales pour $n=2$ et $3$. Toutefois, en raison de son raisonnement purement algébrique, Euler était en mesure de généraliser les solutions pour toute valeur de $n$, ne se limitant pas à $3$. Cela ne se produisant pas dans la géométrie, il était nécessaire d’imaginer un espace avec des dimensions supérieures à $3$. [1]
Le concept de la dépendance des systèmes d’équations linéaires a ensuite été lié à l’annulation du déterminant d’un système, et de là l’idée de déterminer le nombre maximum de solutions à un système, c’est à dire, le « mineur » (sous-déterminant). [1]En 1861, Henry J. S. Smith a publié un article, qui a examiné cette idée de manière théorique, mais sans trouver des solutions à des systèmes d’équations, mais en étudiant les fondements théoriques du problème.
BAUMGART J. K. História da Álgebra (consulté en janvier 2010).
[1] História da Álgebra Linear (consulté en janvier 2010).
Grassmann Hermann Günther (allemand – 15 avril 1809 à Stettin – 26 septembre 1877 à Stettin) est professeur de mathématiques à Stettin, physicien et indianiste.Etudiant le phénomène des marées, il est amené à développer le calcul vectoriel.Il établit les fondements de la théorie des espaces vectoriels et de l’algèbre linéaire. Ses travaux à son époque n’ont pas été jugés à la hauteur de leur qualité. Carl Ludwig Conrad, ayant à lire un essai de ce mathématicien remarquablement long, en bâcle la lecture en 4 jours (du 26 avril au premier mai 1840). Il rate donc complètement l’importance fondamentale de ce travail.
Grassmann Hermann Günther publia une partie de ses résultats en 1844 dans un traité intitulé « La science des grandeurs extensives ou la théorie de l’espace » (complété en 1863).
On lui doit les premières notions suivantes :
- L’indépendance linéaire ;
- La somme de sous-espaces ;
- Le produit linéaire, correspondant au produit scalaire actuel ;
- Le produit extérieur, qui deviendra, en dimension $3$, avec Gibbs et Clifford, notre produit vectoriel usuel ;
- Le théorème des dimensions, qui porte son nom :\[Dim\left(F+G \right)=Dim\left(F \right)+Dim\left(G \right)-Dim\left(F\cap G \right)\]
A la même époque l’irlandais Hamilton introduisait le concept moderne de vecteur.Peano définit de façon axiomatique et plus claire le concept d’espace vectoriel sur un corps de scalaires.