Soit un domaine $T$ défini sur $xyz$. Si on divise cette région en $n$ petits cubes désignés de $1$ à $n$, le volume de chaque cube est donné par $\Delta V_k=\Delta x_k\cdot\Delta y_k\cdot\Delta z_k$.
Pour chaque cube, si on prend la valeur de sa fonction $f(x_k, y_k,z_k)$ et on la multiplie par le volume de son cube respectif, on aura le produit $f(x_k,y_k,z_k)\cdot\Delta V_k$. En faisant la somme du produit de tous les petits cubes, on a la somme de Riemann :\[S_n=\sum_{k=1}^n{f\left(x_k,y_k,z_k\right)\cdot V_k}.\]Si le nombre de divisions du domaine T augmente jusqu’à ce que $n$ tende vers l’infini, on a :\[S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n{f\left(x_k,y_k,z_k\right)\cdot V_k}.\]Si cette somme existe, on l’appellera intégrale triple de la fonction $f(x,y,z)$ en $T$ et s’écrira ainsi :\[I=\iiint\limits_{T}{f(x,y,z)\,\mathrm dV}=\iiint\limits_{T}{f(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}.\]
L’intégrale simple étant le produit d’une variable et d’une fonction, elle peut être interprétée comme l’aire de son graphique.
L’intégrale double est le produit de deux variables et une valeur fonctionnelle, donc elle peut être interprétée comme le volume de son graphique.
Dans le cas d’une intégrale triple, comme il s’agit du produit de trois variables avec une fonction, il y a quatre dimensions impliquées, donc on ne peut pas l’interpréter géométriquement.
Les propriétés des intégrales triples sont équivalentes à celles des intégrales doubles :
- Mise en facteur
\[\iiint\limits_T{k\cdot f(x,y,z)\,\mathrm dV}=k\iiint\limits_T{f(x,y,z)\,\mathrm dV},\text{ pour toute constante $k$.}\] - Somme et soustraction
\[\iiint\limits_T{\left(f(x,y,z)\pm g(x,y,z)\right)\,\mathrm dV}=\iiint\limits_T{f(x,y,z)\,\mathrm dV}\pm\iiint\limits_T{g(x,y,z)\,\mathrm dV}.\] - Inégalités
Si $f(x,y,z)\ge g(x,y,z)$ sur $T$, alors :\[\iiint\limits_T{f(x,y,z)}\,\mathrm dV\ge\iiint\limits_T{g(x,y,z)}\,\mathrm dV.\] - Séparation de l’intégrale
Si $T$ peut être divisé en deux (ou plusieurs) domaines $T_1,T_2,\dotsc,T_n$, alors :\[\iiint\limits_T{f(x,y,z)}\,\mathrm dV=\iiint\limits_{T_1}{f(x,y,z)}\,\mathrm dV+\iiint\limits_{T_2}{f(x,y,z)}\,\mathrm dV+\dotsb+\iiint\limits_{T_n}{f(x,y,z)}\,\mathrm dV.\] - Intégrales itérées
Si $f$ est en plus continue sur $T$, alors :\[\begin{align*}\iiint\limits_T{f(x,y,z)}\,\mathrm dV&=\iiint\limits_T{f(x,y,z)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz=\iiint\limits_T{f(x,y,z)}\,\mathrm dx\,\mathrm dz\,\mathrm dy \\&=\iiint\limits_T{f(x,y,z)}\,\mathrm dy\,\mathrm dz\,\mathrm dx=\dotsc.\end{align*}\]