Chapitre 20Intégrales multiples

Soit une fonction $z=f(x,y)$ définie sur $D$ dans le plan $xy$ dans lequel $z$ est continue sur $D$.

En divisant le domaine $D$ en $n$ carrés et en nommant $\Delta A_k$ chaque élément de l’aire des carrés inclus dans $D$, on a $\Delta A_k=\Delta x_k\cdot\Delta y_k$, $k$ variant de $1$ à $n$.
En prenant pour chaque carré $A_k$ son image en $z$ et en faisant la somme de $k$ qui varie de $1$ à $n$ termes, on a la somme de Riemann suivante, qui correspond ici à une approximation du volume recherché :\[S_n=\sum\limits_{k=1}^n{f(x_k,y_k)}\cdot\Delta A_k=\sum\limits_{k=1}^n{f(x_k,y_k)}\cdot\Delta x_k\cdot\Delta y_k.\]Si le nombre de divisions du domaine $D$ augmente jusqu’à ce que $n$ tende vers l’infini, on a :\[S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\lim\limits_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n{f(x_k,y_k)}\cdot\Delta x_k\cdot\Delta y_k.\]

Si cette somme existe, on l’appellera intégrale double de la fonction $f(x,y)$ dans le domaine $D$ et sera notée par :\[I=\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm d_A}=\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm\,\mathrm dy}\]

Soit $\Delta A_k$ un élément de l’aire sur le plan $xy$ et soit $f(x,y)$ la hauteur de la fonction sur ce point.

Le produit $f(x_k,y_k)\cdot\Delta A_k$ représente le volume du prisme droit inclus en $\Delta A_k$. En réalisant la somme des $n$ prismes, on obtient une approximation du volume du solide situé entre la fonction $f(x,y)$ et le plan $xy$. Lorsque l’on fait cette somme de prismes infinis divisés en parties infinitésimales, l’erreur d’approche tend vers zéro.

Quelques propriétés de l’intégrale simple peuvent être appliquées aux intégrales doubles :

1. Mise en facteur\[\iint_{D}{k\cdot f(x,y)\,\mathrm d_A}=k\cdot\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm d_A},\text{ pour toute constante $k$.}\]
2. Somme et soustraction\[\iint_{D}{\left(f(x,y)\pm g(x,y)\right)\,\mathrm d_A}=\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm d_A}\pm\iint_{D}{g(x,y)\,\mathrm d_A}.\]
3. Inégalités
   Si $f(x,y)\ge g(x,y)$ sur le domaine $D$, alors :\[\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm d_A}\ge\iint_{D}{g(x,y)\,\mathrm d_A}.\]
4. Séparation de l’intégrale
   Si $D$ peut être divisé en deux (ou plusieurs) domaines $D_1,D_2,\dotsc,D_n$, alors :\[\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm d_A}=\iint_{D_1}{f(x,y)\,\mathrm d_A}+\iint_{D_2}{f(x,y)\,\mathrm d_A}+\dotsb+\iint_{D_n}{f(x,y)\,\mathrm d_A}.\]
5. Intégrales itérées
   Si $f$ est en plus continue sur $D$, alors :\[\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm dx\cdot\,\mathrm dy}=\iint_{D}{f(x,y)\cdot\,\mathrm dy\,\mathrm dx}.\]

On suppose que $f$ est une fonction continue de deux variables dans le rectangle $R=[a,b]\times[c,d]$.
On va utiliser la notation $\int_c^d f(x,y)\,\mathrm dy$ où $x$ reste fixé et nous dirons que $f(x,y)$ est intégrée par rapport à $y$, $y$ allant de $c$ à $d$.
Ce processus est appelé intégration partielle par rapport à $y$.

Comme $\int_c^d f(x,y)\,\mathrm dy$ est une fonction qui dépend de la valeur de $x$, on définit une fonction de $x$ :\[A(x)=\int_c^d f(x,y)\,\mathrm dy.\]Maintenant si on intègre la fonction par rapport à $x$, on obtient :\[\int_a^b A(x)\,\mathrm dx=\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,\mathrm dy\right)\,\mathrm dx\]Ce résultat est appelé intégrale itérée et en général les parenthèses n’apparaissant pas. Donc :\[\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,\mathrm dy\right)\,\mathrm dx=\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx.\]Cela signifie que l’on intègre tout d’abord par rapport à $y$ et après par rapport à $x$.

Si $f$ est continue dans le rectangle $R=\bigl\{(x,y)\;\vert\;a\le x\le b,\;c\le y \le d\bigr\}$, alors :\[\iint_R f(x,y)\,\mathrm d_A=\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx=\int_c^d\int_a^b f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy.\]

Calculer l’intégrale double :\[\int_0^3\int_1^2 x^2 y\,\mathrm dy\,\mathrm dx.\]