Chapitre 20Intégrales multiples

Dans le domaine de type 1, la région $T$ est délimitée par les fonctions $h_1(x,y)$ et $h_2(x,y)$, $h_1$ et $h_2$ étant des fonctions continues sur $D$ du plan $xy$.
L’intégrale triple sera de la forme suivante :\[\iiint\limits_T{f(x,y,z)\,\mathrm dV}=\iint\limits_{D}{\left(\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}{f(x,y,z)\,\mathrm dz}\right)\,\mathrm dA}.\]

Après avoir résolu l’intégrale interne, on doit résoudre une intégrale double comme expliqué dans le cours « Calcul d’intégrale double ». Il reste donc à déterminer le type d’intégration sur $dA$, qui peut avoir la forme :\[\begin{align*}&\int_a^b{\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}{\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}{f(x,y,z)}\,\mathrm dz\,\mathrm dy}\,\mathrm dx} \\\text{ ou }&\int_c^d{\int_{g_1(y)}^{g_2(y)}{\int_{h_1(x,y)}^{h_2(x,y)}{f(x,y,z)}\,\mathrm dz\,\mathrm dx}\,\mathrm dy}.\end{align*}\]

Une intégration sur $T$ de $xyz$ peut être calculée sur $T’$ de $uvw$ à partir d’un changement de variable où $f(x,y,z)$ devient $g(u,v,w)$.
L’intégrale triple en $x$, $y$ et $z$, $\iiint\limits_T{f(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}$ peut alors s’écrire sous la forme :\[\iiint\limits_{T’}{g(u,v,w)\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\,\mathrm du\,\mathrm dv\,\mathrm dw},\]dont le jacobien est défini par :\[\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u} &\frac{\partial x}{\partial v} &\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial u} &\frac{\partial y}{\partial v} &\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial z}{\partial u} &\frac{\partial z}{\partial v} &\frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix}.\]Ce remplacement est valable uniquement si $f$ est continue et si le jacobien est non nul..

En convertissant les coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ en coordonnées polaires $(r,\theta,z)$, c’est à dire que : \[x(r,\theta,z)=r\cos\theta,\quad y(r,\theta,z)=r\sin\theta\quad\text{et}\quad z(r,\theta,z)=z,\]alors :\[\iiint\limits_{T}{f(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}=\iiint\limits_{T’}{g(r,\theta,z)\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)}\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz}.\]On calcule son jacobien :\[\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,z)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial\theta} &\frac{\partial x}{\partial z}\\\frac{\partial y}{\partial r} &\frac{\partial y}{\partial\theta} &\frac{\partial y}{\partial z}\\\frac{\partial z}{\partial r} &\frac{\partial z}{\partial\theta} &\frac{\partial z}{\partial z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\theta &-r\sin\theta & 0\\\sin\theta & r\cos\theta & 0\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=r\]Donc :\[\iiint\limits_{T}{f(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}=\iiint\limits_{T’}{g(r,\theta,z)\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta\,\mathrm dz}\]

En convertissant les coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ en coordonnées sphériques $(\rho,\theta,\phi)$, c’est à dire que :\[x(\rho,\theta,\phi)=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y(\rho,\theta,\phi)=\rho\sin\phi\sin\theta\quad\text{et}\quad z(\rho,\theta,\phi)=\rho\cos\phi,\]alors :\[\iiint\limits_{T}{f(x,y,z)\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}=\iiint\limits_{T’}{g(\rho,\theta,\phi)\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho,\theta,\phi)}\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi}.\]On calcule son jacobien :\[\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho,\theta,\phi)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial\rho} &\frac{\partial x}{\partial\theta} &\frac{\partial x}{\partial\phi} \\\frac{\partial y}{\partial\rho} &\frac{\partial y}{\partial\theta} &\frac{\partial y}{\partial\phi} \\\frac{\partial z}{\partial\rho} &\frac{\partial z}{\partial\theta} &\frac{\partial z}{\partial\phi}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\sin\phi\cos\theta &-\rho\sin\phi\sin\theta &\rho\cos\phi\cos\theta \\\sin\phi\sin\theta & \rho\sin\phi\cos\theta &\rho\cos\phi\sin\theta \\\cos\phi & 0 &-\rho\sin\phi\end{vmatrix}=\rho^2\sin\phi\]Donc :\[\iiint\limits_{T}{f(x,y,z)\,\,\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz}=\iiint\limits_{T’}{f(\rho,\theta,\phi)\cdot\rho^2\sin\phi\,\mathrm d\rho\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\phi}.\]

Il est possible de calculer le volume d’une région à partir d’une intégrale triple. De façon analogue au calcul de l’aire par double intégration, on remplace la fonction $f(x,y,z)$ par $1$ et cette intégration donne la valeur numérique du volume de la région intégrée.