Chapitre 20Intégrales multiples

Sachant que $D_1$ est délimité par $g_1(x)\lt y\lt g_2(x)$ et $a\lt x\lt b$, on commence par « balayer » l’aire de chaque section du solide comme fonction de $x$, délimité par $g_1$ et $g_2$, et on obtient donc :\[A(x)=\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}{f(x,y)\cdot\,\mathrm dy}.\]

Ensuite on somme ces sections et on obtient le volume délimité par $x$ entre $a$ et $b$.\[V=\int_a^b{A(x)}\,\mathrm dx=\int_a^b{\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}{f(x,y)\,\mathrm dy\,\mathrm dx}}.\]

$D_2$ est délimité par $h_1(y)\lt x\lt h_2(y)$ et $c\lt y\lt d$. On commence par « balayer » l’aire de chaque section du solide comme fonction de $y$, délimité par $h_1$ et $h_2$, et on obtient donc :\[A(y)=\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}{f(x,y)\,\mathrm dx}.\]

Ensuite on somme ces sections et on obtient le volume délimité par $y$ entre $c$ et $d$.\[V=\int_c^d{A(y)}\,\mathrm dy=\int_c^d{\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}{f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}}.\]

Pour le calcul de $\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm d_A}$, en utilisant la propriété des intégrales itérées, il nous reste à déterminer le type de domaine (1 ou 2) pour réaliser le plus convenablement l’intégration en $\mathrm dx\,\mathrm dy$ ou $\mathrm dy\,\mathrm dx$.

Une intégration sur un domaine $D$ de $x$ et $y$ peut être calculée sur un autre domaine $D’$ de $u$ et $v$ à partir d’un changement de variable où $f(x,y)$ devient $g(u,v)$.
L’intégrale en $x$ et $y$, $\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}$, s’écrit sous la forme $\iint_{D’}{g(u,v)\cdot\dfrac{\partial(x,y)}{\partial (u,v)}\,\mathrm du\,\mathrm dv}$ où $\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ est le déterminant de la matrice jacobienne, appelé jacobien.
Ce jacobien est défini par :\[\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} &\dfrac{\partial x}{\partial v}\\\dfrac{\partial y}{\partial u} &\dfrac{\partial y}{\partial v}\\\end{vmatrix}.\]

Ce changement peut s’effectuer uniquement si $f$ est continue et si le jacobien est non nul.

En passant des coordonnées cartésiennes $(x,y)$ en coordonnées polaires $(r,\theta)$, c’est-à-dire que $x(r,\theta)=r\cos\theta$ et $y(r,\theta)=r\sin\theta$, alors :\[\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}=\iint_{D’}{g(r,\theta)\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta}.\]

On calcule son jacobien.\[\frac{\partial (x,y)}{\partial (r,\theta)}=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r} &\dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\\dfrac{\partial y}{\partial r} &\dfrac{\partial y}{\partial\theta}\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cos\theta &-r\cdot\sin\theta\\\sin\theta & r\cdot\cos\theta\\\end{vmatrix}=r.\]Donc :\[\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm dx\,\mathrm dy}=\iint_{D’}{f(r,\theta)\cdot r\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta}.\]

Si $f(x,y)\ge 0$ sur $D$, l’intégrale $\iint_{D}{f(x,y)\,\mathrm d_A}$ donne le volume du solide placé entre la surface de la fonction $f(x,y)$ et le plan $xy$.

Il est possible de calculer la surface d’une région à l’aide d’une double intégration. En prenant un solide droit de hauteur égale à 1 unité, sa surface supérieure aura numériquement la même valeur que son volume.
$V=A\cdot h$. Si $h=1$, alors $V=A$ numériquement.