$n!$ se lit « factorielle $n$ » et désigne le produit des entiers naturels de $1$ jusqu’à $n$ :\[n!=\prod\limits_{k=1}^{n}{k}=1\times 2\times 3\times\ldots\times n\]
Soit $n$ un entier naturel et $A_n=10n-1$.Calculons les premiers nombres de cette famille :\[A_0=0,\;A_1=9,\;A_2=99,\;A_3=999,\;A_4=9999,\;\ldots\]Les cinq nombres que nous venons de calculer sont tous divisibles par $9$.
Question : Tous les nombres de la forme $(10n-1)$, avec $n\in \N$, sont-ils divisibles par $9$ ?
Il est clair que la simple observation de ce qui se passe sur les cinq premiers, ne suffit pas à conclure qu’il en est de même pour tous les autres. Ce n’est pas parce qu’il pleut cinq jours de suite, qu’il pleuvra encore le sixième !!!
Comment démontrer ce résultat « proprement » ? C’est le raisonnement par récurrence qui va le permettre.
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\ln(x)$ avec $x\gt0$.
Calculons les premières dérivées de cette fonction :\[f'(x)=\frac{1}{x},\;f^{\prime\prime}(x)=\frac{-1}{x^2},\;f^{(3)}(x)=\frac{2}{x^3},\;f^{(4)}(x)=\frac{-6}{x^4},\;\ldots\]Ces quatre premières dérivées permettent-elles d’écrire la dérivée d’ordre $n$ de la fonction $f$, $n$ étant un entier naturel non nul ?
On peut trouver une écriture commune aux quatre premières dérivées :\[f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{x^n}\]On vérifie qu’en remplaçant $n$ par $1$, $2$, $3$ ou $4$, on retrouve le bon résultat.
On dit que l’on vient de faire une conjectureEn mathématiques, une conjecture est une assertion pour laquelle on ne connaît pas encore de démonstration, mais que l’on croit fortement être vraie, en l’absence de contre-exemple.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture, c’est à dire qu’en observant les premières dérivées de $f$, on leur a trouvé une forme commune. Encore, faut-il s’assurer que cette hypothèse est une réalité…
Peut-on utiliser directement cette formule pour calculer $f^{(10)}(x)$ ?
Non, pas avant d’avoir démontré ce résultat « proprement » ; c’est le raisonnement par récurrence qui va le permettre.