Objectifs
L’objectif de ce module est de présenter un type de raisonnement appelé « raisonnement par récurrence » qui est très utilisé dès lors que l’on veut démontrer une propriété qui utilise les entiers naturels. Nous montrerons la force mais aussi la spécificité de ce raisonnement.
Pré-requis
On rappelle que l’on note $\N$ l’ensemble des entiers naturels.\[\N=\{0;1;2;3;4;\ldots\}\]Il s’agit d’un ensemble infini dont le plus petit entier naturel est égal à $0$.
Tout entier non nul $n$ possède un précédent égal à $(n-1)$ (appelé aussi prédécesseur) et un suivant égal à $(n+1)$ (appelé aussi successeur).
Cette propriété est une propriété remarquable des entiers naturels. En effet, elle est fausse si on travaille dans d’autres ensembles de nombres tels que les décimaux ($\D$), les rationnels($\Q$) ou les réels ($\R$).
Étudions particulièrement le cas des nombres décimaux : entre deux décimaux distincts, il existe une infinité de décimaux. Cela signifie donc qu’un décimal n’admet pas de précédent et de suivant. Par exemple, le décimal $1{,}32$ est encadré entre $1{,}31$ et $1{,}33$. Mais entre $1{,}32$ et $1{,}33$ on peut glisser $1{,}325$ et ainsi de suite…
L’ensemble des entiers naturels se représente facilement à l’aide d’une droite graduée.Certains représentent cet ensemble à l’aide d’une échelle dont le premier barreau est $0$ et dont tous les barreaux sont espacés d’une distance égale à $1$. Nous reprendrons cette image pour expliquer le raisonnement par récurrence.
Cette propriété très particulière des entiers naturels permet de leur associer, comme nous allons le voir, le raisonnement par récurrence. Mais il faudra bien se garder de vouloir généraliser aux autres ensembles de nombres la même technique car c’est impossible.
Crédits
- Auteur du cours : Guy Athanaze (INSA de Lyon)
- Auteur de la « Présentation historique » : Paul Sablonnière (INSA et IRMAR de Rennes)