Chapitre 2Raisonnement par récurrence

Activité n°1

Soit $n$ un entier naturel et $A_n={10}^n-1$. On pose :\[P(n)=\odq A_n\text{ est divisible par }9\cdq.\]On veut démontrer que $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

1. Fondation : On vérifie $P(0)$ est vraie.
   $A_0=0$ donc $P(0)$ est vraie puisque $9$ divise $0$ (en effet $0=9 \times 0$).
   L’étape d’initialisation est donc faite.
2. Hérédité : Soit $k$ un entier naturel fixé. Supposons $P(k)$ vraie (hypothèse de récurrence), c’est-à-dire :\[9\text{ divise }{10}^k-1.\]Cela signifie donc qu’il existe un entier naturel $p$ tel que ${10}^k-1=9p$. En particulier on peut en déduire que ${10}^k=9p+1$. Etudions maintenant la propriété au rang $(k+1)$.\[{10}^{k+1}-1=10\times {10}^k-1=10\times (9p+1)-1=90p+9=9(10p+1).\]En posant $q=10p+1$, on a bien trouvé un entier naturel tel que ${10}^{k+1}-1 =9q$. Ceci prouve que $P(k+1)$ est vérifiée et nous venons de prouver que cette propriété est héréditaire.
3. Conclusion : La proposition est vraie pour $n=0$, par hérédité elle est donc vraie pour $n=1$, puis pour $n=2$… et de proche en proche pour tous les entiers naturels.
   Nous avons donc démontré que tous les entiers de la forme ${10}^n-1$ sont divisibles par $9$.

Activité n°2

On rappelle que $f(x)=ln(x)$. On pose :\[P(n)=\odq f^{(n)}(x)=\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{x^n}\cdq.\]On veut démontrer que $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel non nul $n$.

1. Fondation : On vérifie $P(1)$ est vraie.
   En remplaçant $n$ par $1$ dans cette relation, on obtient $f'(x)=\dfrac{1}{x}$, ce qui est vraie.
   L’étape d’initialisation est donc faite.
2. Hérédité : Soit $k$ un entier naturel fixé. On suppose $P(k)$ vraie (hypothèse de récurrence), c’est à dire :\[f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k+1}(k-1)!}{x^k}.\]A partir de cette hypothèse, nous allons calculer la dérivée d’ordre $(k+1)$ de $f$.\[f^{(k+1)}(x)=\left(f^{(k)} \right)'(x)=\left(\frac{{(-1)}^{k+1}(k-1)!}{x^k} \right)’= (-1)^{k+1}(k-1)!\left(\frac{1}{x^k} \right)’\label{eq:a2-1}\tag{R}\]Or, $\displaystyle{\left(\frac{1}{x^k} \right)’=(-k)\frac{1}{x^{k+1}}}$.En remplaçant dans $\eqref{eq:a2-1}$ on obtient : \[f^{(k+1)}(x)=\frac{{(-1)}^{k+2}k!}{x^{k+1}}\]Ceci prouve que la dérivée d’ordre $(k+1)$ de $f$ est obtenue en remplaçant $k$ par $(k+1)$ dans la formule de départ. Par conséquent $P(k+1)$ est vérifiée et nous venons de prouver que cette propriété est héréditaire.
3. Conclusion : La proposition est vraie pour $n=1$, par hérédité elle est donc vraie pour $n=1$, puis pour $n=2$… et de proche en proche pour tous les entiers naturels.
   Nous avons donc démontré que pour tout entier naturel non nul $n$, la dérivée d’ordre $n$ de la fonction $f$ est égale à :\[\frac{{(-1)}^{n+1}(n-1)!}{x^n}.\]