Notion d’intervalle
Un intervalle s’écrit $|a,b|$ où $|$ remplace ici $[$ ou $]$. $a$ peut être fini ou valoir $-\infty$, $b$ peut être fini ou valoir $+\infty$.
L’intervalle est alors l’ensemble des réels compris entre $a$ et $b$, éventuellement au sens large.
L’ensemble vide $\varnothing$ est considéré comme un intervalle.
$I$ est un intervalle si et seulement si :\[\forall x\in I,\;\forall y\in I,\;x\lt z\lt y\implies z\in I.\]Une partie vérifiant cette propriété est dite convexe.
Une autre formulation est :\[\forall x\in I,\;\forall y\in I,\;x\lt y\implies [x,y]\subset I.\]
Il est évident qu’un intervalle vérifie la propriété de convexité.Montrons la réciproque.
Soit $I$ convexe. Montrons qu’il est de la forme définie dans la notation.
- Si $I$ est minoré, posons $a=\inf I$ sinon $a=-\infty$.
- Si $I$ est majoré, posons $b=\sup I$, sinon $b=+\infty$.
On a donc $I$ inclus dans $[a,b]$.
Soit $z$ tel que $a\lt z\lt b$. Dans tous les cas, il existe $x$ et $y$ éléments de $I$ tels que :\[a\le x\lt z\lt y\le b.\]Montrons le pour $x$ :
- Si $a=-\infty$, cela signifie que $I$ n’est pas minoré, et donc que $z$ ne minore pas $I$, et donc qu’il existe $x$ élément de $I$ tel que $x \lt z$.
- Si $a$ est fini, a est le plus grand des minorants, donc $z$ ne minore pas $I$, et donc il existe $x$ éléments de $I$ tel que $a\le x\lt z$.
La propriété de convexité prouve que $z$ est élément de $I$. Ainsi, $]a,b[$ est inclus dans $I$. Le fait que $a$ et $b$ appartienne ou non à $I$ fermera éventuellement l’une des bornes de l’intervalle ou les deux.
L’intersection d’intervalles est un intervalle.
Laissée au lecteur.
La réunion d’intervalles peut être ou ne pas être un intervalle.
Soient $I_1=[0,2]$ et $I_2=[3,4]$.
Alors, $I_1\bigcup I_2$ n’est pas un intervalle.
Tangente à une courbe
Soit une courbe $(C)$ et 2 points $M_0$ et $M$ de $(C)$ de coordonnées respectives $(x_0,y_0)$ et $(x,y)$. La droite $(M_0M)$ est une sécante à $(C)$.
Si lorsque nous faisons tendre $x$ vers $x_0$, les sécantes tendent vers une position limite, alors cette-ci est appelée la tangente à la courbe $(C)$ au point $M_0$ d’abscisse $x_0$.
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Taux d’accroissement (ou de variation)
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soient $a$ et $b$ 2 éléments distincts de $I$
Le taux d’accroissement (ou de variation), de $f$ entre $a$ et $b$ est l’accroissement de $f$ entre $a$ et $b$ ramené à une unité (taux) d’abscisse, soit :\[T_{a,b}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]
On remarque que l’ordre de $a$ et $b$ dans le calcul de $T_{a,b}$ n’intervient pas. Ainsi, en notant $(C)$ la courbe représentative de $f$, on reconnaît là, la pente ou coefficient directeur de la sécante $(AB)$ à la courbe $(C)$ : passant par les point $A\bigl(a,f(a)\bigr)$ et $B\bigl(b,f(b)\bigr)$.
- Calculer le taux de variation de $f:\mapsto \sqrt{x}$ entre $1$ et $9$. Quel est son signe ?
- Calculer le taux de variation de $f:x\mapsto \sqrt{x}$ entre deux réels $a$ et $b$ positifs (distincts) et étudier le signe de ce taux sur $\R^+$.
- Calculer le taux de variation de $f:x\mapsto x^2$ entre deux réels $a$ et $b$ (distincts) et étudier le signe de ce taux sur $\R^+$ et $\R^-$.
- Calculer le taux de variation de $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ entre deux réels non nuls $a$ et $b$ (distincts) et étudier le signe de ce taux sur $\R^{*+}$ et $\R^{*-}$.
- $T_{1,9}=\dfrac{\sqrt{1}-\sqrt{9}}{1-9}=\dfrac{1-3}{-8}=\dfrac{1}{4}\gt 0$
- $T_{a,b}=\dfrac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{b-a}\gt 0$. $f$ est croissante sur $\R^+$.
- $T_{a,b}=a+b\begin{cases}\gt 0 & \text{si $a$ et $b$ sont positifs} \\\lt 0 & \text{si $a$ et $b$ sont négatifs.} \\\end{cases}$ et on remarque que $f$ est croissante sur $\R^+$, décroissante sur $\R^-$.
- $T_{a,b}=-\dfrac{1}{ab} \begin{cases}\gt 0 & \text{si $a$ et $b$ sont strictement positifs} \\\lt 0 & \text{si $a$ et $b$ sont strictement négatifs.} \\\end{cases}$ et on remarque que $f$ est décroissante sur $\R^-$ et sur $\R^+$.
- Si on a une fonction croissante, alors le taux est positif (démonstration laissée au lecteur).
Problème : La réciproque est-elle vraie ? Oui. (démonstration laissée au lecteur). - Si on a une fonction décroissante, alors le taux est négatif (démonstration laissée au lecteur).
Problème : La réciproque est-elle vraie ? Oui. (démonstration laissée au lecteur).
L’étude des variations d’une fonction d’un point de vue globale (i.e. sur un ensemble dans sa globalité) est difficile. Nous allons faire des études locales (i.e. au voisinage d’un réel) et pour cela, nous allons utiliser la notion de taux de variation avec un passage à la limite.
Nous allons donc définir le nombre dérivé en $x_0$ comme la valeur limite, quand elle existe, du taux $T_{x,x_0}=\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ lorsque $x$ tend vers $x_0$, des pentes des sécantes $(s)$ coupant la courbe en deux points d’abscisses respectives $x_0$ et $x$. La sécante $(s)$ devient alors la tangente $(T)$ en $M\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)$ : ce nombre dérivé en $x_0$ sera le coefficient directeur de la tangente en $M\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)$ à la courbe représentative de $f$.
Equation cartésienne réduite d’une droite passant par 2 points
Soit $R=\left(O,\vec{i},\vec{j}\right)$ un repère orthonormé. On considère les points $A$ et $B$ distincts de coordonnées respectives $(x_A,y_a)$ et $(x_B,y_B)$ dans le repère $R$.
Quelle est l’équation cartésienne réduite (c’est-à-dire de la forme $y=px+q$) de la droite $(AB)$ dans le cas où elle existe ? Et dans quel cas celle-ci n’existe pas ?
Soit $M$ un point de coordonnées $(x,y)$ dans $R$.\[\begin{align*}M\in (AB)&\iff\text{$\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires} \\&\iff\det\left(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}\right)=0 \\&\iff\begin{vmatrix}x-x_A & x_B-x_A \\y-y_A & y_B-y_A \\\end{vmatrix}=0 \\&\iff (x-x_A)(y_B-y_A)-(y-y_A)(x_B-x_A)=0 \\&\iff (yB-y_A)x+(x_B-x_A)y=(y_B-y_A)x_A-(x_B-x_A)y_A\end{align*}\]À ce niveau de développement, on s’aperçoit que toute droite $(AB)$ admet une équation dite cartésienne de la forme $ax+by+c=0$.
La suite des calculs nécessite que $x_B-x_A\ne $0, c’est-à-dire que la droite $(AB)$ ne soit pas parallèle à l’axe des ordonnées.Donc, lorsque la droite $(AB)$ est parallèle à l’axe des ordonnées, la droite $(AB)$ n’admet pas de pente. Intuitivement, la pente d’une telle droite est infinie…
Nous obtenons avec la condition $x_B-x_A\ne 0$ :\[M\in (AB)\iff y=\frac{{y_B}-{y_A}}{x_B-x_A}x+\frac{(y_B-y_A)x_A-(x_B-x_A)y_A}{x_B-x_A}.\]
Nous ramenons le problème de recherche d’équation de droite à la recherche d’un système de 2 équations, 2 inconnues en sachant que l’équation recherchée est de la forme $y=px+q$.\[M\in (AB)\iff \begin{cases}y_A &= p\cdot x_A+q \\y_B &= p\cdot x_B+q \\\end{cases}\]Ce système admet comme solution : \[p=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\quad\text{et}\quad q=\frac{(y_B-y_A)x_A-(x_B-x_A)y_A}{x_B-x_A}.\]