Dérivabilité en $x_0$
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un élément de $I$.
Les énoncés suivants sont équivalents :
- Le taux d’accroissement de $f$ en $x_0$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $x_0$ :\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=a\]
- Il existe une fonction $\epsilon$ telle que pour tout $h$ tel que $x_0+h$ appartient à $I$ :\[f(x_0+h)=f(x_0)+ah+h\epsilon(h)\quad\text{avec $\lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0$}.\]
- Montrons que la première propriété implique la seconde.
\[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=a\iff \lim_{h\to 0}\left(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-a\right)=0.\]Posons $\epsilon$ la fonction définie par $\epsilon(h)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}-a$.
Alors, nous obtenons :\[f(x_0+h)=f(x_0)+ah+h\epsilon(h)\quad\text{avec $\lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0$},\]Soit la seconde propriété.- Montrons que la seconde propriété implique la première.
Cette propriété est équivalente à :\[\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=a+\epsilon(h)\quad\text{avec $\lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0$}.\]Cette dernière propriété implique que $\displaystyle\lim_{h\to 0} \left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right)=a$, c’est à dire la première propriété.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un élément de $I$.Lorsqu’une des deux conditions équivalentes suivante est réalisée, on dit que $f$ est dérivable en $x_0$ :
- Le taux d’accroissement de $f$ en $x_0$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $x_0$ :\[\begin{equation}\lim_{x\to x_0} \left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)=\lim_{h\to 0} \left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right)=a.\label{eq:def1-1} \end{equation}\]
- Il existe une fonction $\epsilon$ telle que pour tout $h$ tel que $x_0+h$ appartient à $I$ :\[\begin{equation}f(x_0+h)=f(x_0)+ah+h\epsilon(h)\quad\text{avec $\lim_{h\to 0}\epsilon(h)=0$}.\label{eq:def1-2}\end{equation}\]
Le réel $a$ est noté $f'(x_0)$ ; c’est le nombre dérivé de $f$ en $x_0$.
L’écriture $f(x_0+h)=f(x_0)+ah+h\epsilon(h)$ est appelée développement limité d’ordre 1 de $f$ en $x_0$.
En posant $x=x_0+h$, $\eqref{eq:def1-2}$ s’écrit aussi :\[\begin{equation}f(x)=f(x_0)+a(x-x_0)+(x-x_0)\epsilon(x-x_0)\quad\text{avec $\lim_{x\to x_0}\epsilon(x-x_0)=0$}\label{eq:def1-3}\end{equation}\]
Prenons la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$ et $x_0$ un réel strictement positif.
- Montrer que $f'(x_0)$ existe et calculons sa valeur.
- Étudier la dérivabilité de $f$ en $0$.
- Montrons que $f'(x_0)$ existe.
\[\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)&=\lim_{x\to x_0}\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}\right) \\&=\lim_{x\to x_0}\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{\bigl(\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\bigr)\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\bigr)}\right) \\&=\lim_{x\to x_0}\left(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}\right)=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}\\\end{align*}\]Donc $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}$.- Étudions la dérivabilité de $f$ en $0$.\[\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right)=\lim_{x\to x_0}\left(\frac{\sqrt{x}}{x}\right)==\lim_{x\to x_0}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=+\infty\]Donc, $f$ est non dérivable en $0$.
Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)$ existe et est égale à un réel.
Les différentes situations suivantes sont possibles et alors dans ces cas, $f$ est non dérivable en $x_0$.
- $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)$ n’existe pas mais les limites à droite $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)$ et/ou à gauche $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)$ existent. Alors, $f$ est dérivable à droite et/ou à gauche.
- $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)=+\infty$. $f$ est non dérivable en $x_0$ mais le graphe de $f$ admet au point d’abscisse $x_0$ une tangente verticale.
- $\displaystyle\lim_{x\to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)$ n’existe pas. $f$ est non dérivable en $x_0$. Par exemple, prenons la fonction définie par $f:x\mapsto x\cdot\sin\left(\frac{1}{x}\right)$.
Dérivabilité sur un ensemble
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ telle que $f$ soit dérivable en tout réel $x$ de $D$. On dit alors que $f$ est dérivable sur $D$.
Nous pouvons alors définir la fonction de $D$ dans $\R$ définie par : $x\mapsto f'(x)$.
Nous noterons alors $f’$ cette fonction appelée dérivée de $f$ sur $D$.
Avec la fonction $f:x\mapsto \sqrt{x}$, nous avons vu que pour tout réel $x_0$ strictement positif, $f'(x_0)$ existe et vaut $\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}$.
Donc, nous avons $f’$ la fonction définie sur $\R^{*+}$ par $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
Nous noterons ici : pour tout réel strictement positif, $\left(\sqrt{x} \right)’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
Nous avons vu auparavant que la fonction « racine carrée » est non dérivable en $0$. Ainsi, nous pouvons définir et calculer la fonction dérivée de la plupart des fonctions usuelles.
L’ensemble de définition d’une fonction $f$ ne coïncide pas forcément avec l’ensemble où $f$ est dérivable, appelé ensemble de dérivabilité. Il le contient seulement.
Par exemple, avec la fonction « racine carrée », l’ensemble de définition est $\R^+$ mais l’ensemble de dérivabilité est $\R^{+*}$.
Lien avec la continuité
Intuitivement, nous pouvons émettre les idées suivantes :
- Si $f$ est une fonction dérivable, alors tout point de son graphe admet une tangente. Donc, comme la tangente approche le graphe, le graphe sera « d’un seul morceau », « continue ». D’où, $f$ sera continue.
- Si $f$ est une fonction continue, son graphe (sur un intervalle) est d’un seul morceau mais peut présenter des points anguleux. Par exemple, soit $x_0$ l’abscisse d’un tel point anguleux. $f$ ne sera pas dérivable en ce point.
Toute fonction dérivable en un point est continue en ce point.
Attention à la réciproque qui est fausse.
Soit $f$ une fonction dérivable au point $x_0$ Nous avons alors :\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+(x-x_0)\epsilon(x-x_0)\quad\text{avec $\lim_{x\to x_0}\epsilon(x-x_0)=0$}.\]D’après les théorèmes sur les limites :\[\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)+\lim_{x\to x_0}\bigl(f'(x_0)(x-x_0)\bigr)+\lim_{x\to x_0}(x-x_0)\epsilon(x-x_0)=f(x_0).\]Donc $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ ce qui signifie que $f$ est continue en $x_0$.
La fonction $x\mapsto |x|$ est continue en $0$ mais non dérivable.
\[\begin{align*}\text{Continuité}&\Rightarrow\text{Dérivabilité} \\\text{Dérivabilité}&\nRightarrow\text{Continuité} \\\end{align*}\]