Chapitre 8Dérivation

• Pour une fonction $f$ constante : $f(x)=k$ et $x_0$ un réel.
  \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{k-k}{x-x_0}=0.\]Donc $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=0$.
• Pour la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^2$ et $x_0$ un réel.
  \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\bigl(x+x_0\bigr)=2x_0.\]Donc $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=2x_0$.
• Pour la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^n$ avec $n\ge 2$ et $x_0$ un réel.
  On rappelle que $a^n-b^n=(a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}{a^kb^{n-k-1}}$.
  \[\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}\frac{\bigl(x-x_0\bigr)\sum\limits_{k=0}^{n-1}{x^k{x_0}^{n-k-1}}}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{x^k{x_0}^{n-k-1}}=nx_0^{n-1}\end{align*}\]Donc $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=nx_0^{n-1}$.
• Pour la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^n$ avec $n\le-1$ et $x_0$ un réel non nul.
  Voir l’exemple d’applications du théorème de dérivation des fonctions composées.
• Pour la fonction $f$ définie par : $f(x)=\sqrt{x}$ et $x_0$ un réel strictement positif.
  \[\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}\frac{\sqrt x-\sqrt{x_0}}{\left(\sqrt x-\sqrt{x_0}\right)\left(\sqrt x+\sqrt{x_0}\right)} \\&=\lim_{x\to x_0}\frac{1}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}.\end{align*}\]Donc $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}$.
• Pour la fonction $f$ définie par : $f(x)=\sin(x)$ et $x_0$ un réel.
  \[\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{\sin(x)-\sin(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0}\,\frac{\sin(x_0+h)-\sin(x_0)}{h} \\&=\lim\limits_{h\to 0}\,\frac{\sin(x_0)\cos(h)+\cos(x_0)\sin(h)-\sin(x_0)}{h} \\&=\sin(x_0)\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}h+\cos(x_0)\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} \\\end{align*}\]D’après les résultats connus sur les limites, nous avons :\[\lim\limits_{h\to 0}\,\frac{\cos(h)-1}h=0\quad\text{et}\quad\lim\limits_{h\to 0}\,\frac{\sin(h)}h=0.\]D’où :\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{\sin(x)-\sin(x_0)}{x-x_0}=\cos(x_0)\]Donc $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=\cos(x_0)$.
• Pour la fonction $f$ définie par : $f(x)=\cos(x)$ et $x_0$ un réel.
  Voir l’exemple d’applications du théorème de dérivation des fonctions composées.
• Pour la fonction $f$ définie par : $f(x)=\ln(x)$ et $x_0$ un réel strictement positif.
  Le résultat découle directement de la définition de la fonction $\ln$ : $\ln$ est la primitive de la fonction : $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ qui s’annule en $1$.
• Pour la fonction $f$ définie par : $f(x)=\exp(x)=\e^x$ et $x_0$ un réel.
  Commençons d’abord par démontre que $\exp$ est dérivable en $0$ et calculons sa dérivée en $0$ :\[\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{\e^x-1}{x}.\]La fonction $\exp$ est continue. Posons $y=\e^x$.
  « $x$ tend vers $x_0$ » est équivalent à « $y$ tend vers $1$ », et nous obtenons donc :\[\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{\e^x-1}x=\lim\limits_{y\to 1}\,\frac{y-1}{\ln y}=\lim\limits_{y\to 1}\,\frac{1}{\frac{y-1}{\ln y}}.\]Or, la fonction $\ln$ est dérivable en $1$ et nous reconnaissons la limite de l’inverse du taux de variations de $\ln$ en $1$. Donc,\[\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-0}=\lim\limits_{y\to 1}\,\frac{1}{\frac{y-1}{\ln y}}=1.\]Ainsi, $\exp$ est dérivable en $0$ de nombre dérivée $1$.
  Etudions maintenant la dérivabilité de $\exp$ en un réel $x_0$.\[\lim\limits_{x\to x_0}\,\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\,\frac{\e^x-e^{x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\,\frac{e^{(x-x_0)}-1}{x-x_0}=\lim\limits_{u\to 0}\,\frac{e^u-1}{u}.\]Donc $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=\e^{x_0}$.
• Pour la fonction $f$ définie par : $f(x)=x^k$ ($k\notin \Z$) et $x_0$ un réel strictement positif.
  Voir l’exemple d’applications du théorème de dérivation des fonctions composées.

• Soit $u$ une fonction dérivable sur $D$, $k$ une constante et $x_0$ un réel. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ku(x)$. Etudions la dérivabilité de $f$ en $x_0$.
  \[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{ku(x)-ku(x_0)}{x-x_0}=k\lim_{x\to x_0}\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}=ku'(x_0)\].Donc, $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=ku'(x_0)$.
• Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=u(x)+v(x)$. Etudions la dérivabilité de $f$ en $x_0$.\[\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{(u+v)(x)-(u+v)(x_0)}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+\lim_{x\to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} \\&=u'(x_0)+v'(x_0)\end{align*}\]Donc, $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=u'(x_0)+v'(x_0)$.
• Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=u(x)v(x)$. Etudions la dérivabilité de $f$ en $x_0$.\[\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{u(x)v(x)-u(x_0)v(x_0)}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}\frac{u(x)v(x)-u(x_0)v(x)+u(x_0)v(x)-u(x_0)v(x_0)}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}v(x)\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}+u(x_0)\lim_{x\to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} \\&=v(x_0)u'(x_0)+u(x_0)v'(x_0)\end{align*}\]Donc, $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=u'(x_0)v(x_0)+u(x_0)v'(x_0)$.
• Soit $u$ une fonction dérivable sur $D$ telle que $u$ ne s’annule pas sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$. Etudions la dérivabilité de $f$ en $x_0$.\[\begin{align*}\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{1}{u(x)}-\frac{1}{u(x_0)}}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{u(x_0)-u(x)}{u(x)u(x_0)}}{x-x_0} \\&=\lim_{x\to x_0}-\frac{1}{u(x)u(x_0)}\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0} \\&=-\frac{1}{{u^2}(x_0)}u'(x_0) \\&=-\frac{u'(x_0)}{{u^2}(x_0)}\end{align*}\]Donc, $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0)=-\dfrac{u'(x_0)}{{u^2}(x_0)}$.
• Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $D$ telle que $v$ ne s’annule pas sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$.
  Utilisons les règles de calcul de la dérivée d’un produit, de l’inverse d’une fonction et de la composée de fonctions.\[f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=u(x)\frac{1}{v(x)}.\]Les fonctions $u$ et $\dfrac{1}{v}$ sont dérivables sur $D$. Nous obtenons :\[f'(x)=u'(x)\frac{1}{v(x)}+u(x)\left(\frac{1}{v(x)} \right)’=u'(x)\frac{1}{v(x)}-u(x)\frac{v'(x)}{{v^2}(x)}=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{{v^2}(x)}.\]Donc $f$ est dérivable sur $D$ et $f’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$.
• Soit $u$ une fonction dérivable sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=u^n(x)$ pour un entier $n\gt 2$.Utilisons les règles de calcul de la dérivée de la fonction $\phi:x\mapsto x^n$ et de la composée de fonctions. Nous avons : $f=\phi\circ u$.Nous obtenons :\[f'(x)=\phi’\bigl(u(x)\bigr)u'(x)=nu^{n-1}(x)u'(x).\]Donc, $f$ est dérivable sur $D$ et $f’=nu^{n-1}u’$.
• Soit $u$ une fonction dérivable sur $D$ telle que $u$ ne s’annule pas sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=u^n(x)$ pour un entier $n\le -1$.
  Utilisons les règles de calcul de la dérivée de la fonction $\phi:x\mapsto x^n$ et de la composée de fonctions. Nous avons : $f=\phi\circ u$.Nous obtenons :\[f'(x)=\phi’\bigl(u(x)\bigr)u'(x)=nu^{n-1}(x)u'(x).\]Donc, $f$ est dérivable sur $D$ et $f’=nu^{n-1}u’$.
• Soit $u$ une fonction dérivable sur $D$ telle que $u$ soit strictement positive sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\sqrt{u(x)}$.
  Utilisons les règles de calcul de la dérivée de la fonction $\phi:x\mapsto \sqrt{x}$ et de la composée de fonctions. Nous avons : $f=\phi\circ u$.Nous obtenons :\[f'(x)=\phi’\bigl(u(x)\bigr)u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{u(x)}}u'(x)=\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}.\]Donc, $f$ est dérivable sur $D$ et $f’=\dfrac{u’}{2\sqrt{u}}$.
• Soit $u$ une fonction dérivable sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=e^{u(x)}$.
  Utilisons les règles de calcul de la dérivée de la fonction $\phi:x\mapsto \e^x$ et de la composée de fonctions. Nous avons : $f=\phi\circ u$.Nous obtenons :\[f'(x)=\phi’\bigl(u(x)\bigr)u'(x)=\e^{u(x)}u'(x).\]Donc, $f$ est dérivable sur $D$ et $f’=\e^{u}u’$.
• Soit $u$ une fonction dérivable sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\ln{|u(x)|}$.
  Comme $u$ est une fonction dérivable sur $D$, elle est continue sur $D$. Or, $u$ ne s’annule pas sur $D$. Elle garde donc un signe constant.
  
  • Cas : $u\gt 0$ sur $D$.
    Alors, $f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr)$.Utilisons les règles de calcul de la dérivée de la fonction $\phi:x\mapsto \ln x$ et de la composée de fonctions. Nous avons : $f=\phi\circ u$.Nous obtenons :\[f'(x)=\phi’\bigl(u(x)\bigr)u'(x)=\frac{1}{u(x)}u'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.\]
  • Cas : $u\lt 0$ sur $D$.
    Alors, $f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr)$.Utilisons les règles de calcul de la dérivée de la fonction $\phi:x\mapsto \ln x$ et de la composée de fonctions. Nous avons : $f=\phi\circ(-u)$.Nos obtenons :\[f'(x)=\phi’\bigl(-u(x)\bigr)\bigl(-u'(x)\bigr)=\frac{1}{-u(x)}\bigl(-u'(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)}.\]
  Donc, $f$ est dérivable sur $D$ et $f’=\dfrac{u’}{u}$.
• Soit $u$ une fonction dérivable sur $D$ telle que $u$ soit positive et ne s’annule pas sur $D$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=u^k(x)$ pour $k$ non entier.
  Utilisons les règles de calcul de la dérivée de la fonction $\phi:x\mapsto x^k$ et de la composée de fonctions. Nous avons : $f=\phi\circ u$.Nous obtenons :\[f'(x)=\phi’\bigl(u(x)\bigr)u'(x)=nu^{n-1}(x)u'(x).\]Donc, $f$ est dérivable sur $D$ et $f’=nu^{n-1}u’$.
• Pour la dérivée de $v\circ u$, voir le cours « fonctions composées ».