Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $x_0$.
- Si $\displaystyle\lim\limits_{h\to 0^+}\,\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\ell$ avec $\ell\in\R$, on dit que $f$ est dérivable à droite en $x_0$, le nombre $\ell$ est le nombre dérivé à droite en $x_0$. On le note $f_d'(x_0)$.
La représentation graphique de $f$ admet une demi-tangente à droite en $M_0\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)$ de coefficient directeur $\ell$ (les considérations précédentes sont encore valables en remplaçant la droite $(M_0M)$ par la demi-droite $[M_0M)$ obtenue pour $h\gt 0$). - Si $\displaystyle\lim\limits_{h\to 0^-}\,\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\ell$ avec $\ell\in\R$, on dit que $f$ est dérivable à gauche en $x_0$, le nombre $\ell$ est le nombre dérivé à gauche en $x_0$. On le note $f_g'(x_0)$.
La représentation graphique de $f$ admet une demi-tangente à gauche en $M_0\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)$ de coefficient directeur $\ell$ (considérer, de même, la demi-droite $[M_0M)$ obtenue pour $h\lt 0$).
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=|x|$. Etudier sa dérivabilité de $f$ en $0$.
Nous devons donc étudier : $\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{|x|}{x}$.
Pour cela, étudions les limites à droite et à gauche :\[\begin{align*}\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}&=\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}x=\lim_{x\to 0^+}\frac{x}x=\lim_{x\to 0^+}1=1 \\\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}&=\lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}x=\lim_{x\to 0^-}\frac{-x}x=\lim_{x\to 0^-}-1=-1\end{align*}\]$\displaystyle\lim\limits_{x\to 0}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ n’existe pas. Donc, $f$ n’est pas dérivable en $0$, mais $f$ est dérivable à droite en $0$ avec $f_d'(0)=1$ et $f$ est dérivable à gauche en $0$ avec $f_g'(0)=-1$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\begin{cases}x^2+1 &\text{pour $x\lt 1$} \\\dfrac{1}x+1 &\text{pour $x\ge 1$}\end{cases}$. Etudier sa dérivabilité en $1$.
Nous devons donc étudier : $\displaystyle\lim\limits_{x\to 1}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$.
Pour cela, étudions les limites à droite et à gauche :\[\begin{align*}\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim_{x\to 1^+}\frac{\left(\frac{1}x+1 \right)-2}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{\frac{1}x-1}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{\frac{1-x}{x}}{x-1} \\&=\lim_{x\to 1^+}-\frac{1}x=-1 \\\\\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}&=\lim_{x\to 1^-}\frac{\left({x^2}+1 \right)-2}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{{x^2}-1}{x-1} \\&=\lim_{x\to 1^-}(x+1)=2\end{align*}\]$\displaystyle\lim\limits_{x\to 1}\,\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$n’existe pas. Donc, $f$ n’est pas dérivable en $1$, mais $f$ est dérivable à droite en $1$ avec $f_d'(1)=-1$ et $f$ est dérivable à gauche en $1$ avec $f_g'(1)=2$.